Grundlagen der Elektrizitätslehre: Strom, Spannung, Widerstand & Schaltungen

Einleitung in den elektrischen Strom

Wenn sich elektrisch geladene Ladungsträger durch einen Leiter bewegen, entsteht ein elektrischer Strom. Damit Strom fließen kann, muss ein elektrischer Leiter vorhanden sein (z.B. ohmsche Leiter, die den Stromfluss für eine begrenzte Dauer ermöglichen). Zudem muss ein ausreichendes elektrisches Feld vorhanden sein, das die Ladungsträger in Bewegung setzt. Wenn die Ladung sich periodisch ändert, spricht man von Wechselstrom (AC), bei dem die Ladungsträger ihre Bewegungsrichtung abwechselnd ändern.

Stromstärke und Stromdichte

Die Stromstärke (I) ist die Ladungsmenge Q, die pro Zeiteinheit t den Querschnitt eines Leiters durchquert. Die mittlere Stromstärke ist I_m = ΔQ / Δt. Die momentane Stromstärke ist I_inst = lim_Δt→0 ΔQ / Δt = dQ / dt. Im SI-Einheitensystem wird die Stromstärke in Ampere (A) gemessen.

Die Stromdichte (j) ist ein Vektor, dessen Betrag den Stromfluss pro Querschnittsfläche angibt. Sie wird berechnet als dI = j ⋅ dS oder |j| = I / |ΔS|. Im SI-Einheitensystem wird die Stromdichte in Ampere pro Quadratmeter (A/m²) angegeben.

Die Stromdichte j = nqv, wobei n die Ladungsträgerdichte, q die Elementarladung und v die Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger ist. Der Strom ist ein Vektor, dessen Richtung und Sinn mit der Richtung und dem Sinn der Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger übereinstimmen.

Das Ohmsche Gesetz

Das Ohmsche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Strom, Spannung und Widerstand. Aus F = qE und F = Bv (Anmerkung: Diese Formeln sind hier kontextuell ungewöhnlich, aber im Original vorhanden) folgt die Stromdichte j = (nq²/B)E. Die Leitfähigkeit (σ) ist definiert als σ = nq²/B, sodass j = σE. Dieser Ausdruck zeigt, dass die Stromdichte proportional zur Leitfähigkeit und zum angelegten elektrischen Feld ist.

Für einen ohmschen Leiter (bei dem der Widerstand konstant ist) gilt:

• Das elektrische Feld E = -grad V = -dV/dl.
• Der Betrag des elektrischen Feldes ist |E| = -(V_b - V_a) / L.
• Da |j| = I / S, ergibt sich I / S = σ (V_a - V_b) / L.
• Daraus folgt I = (V_a - V_b) / (L / (σS)).

Der Widerstand (R) ist definiert als R = ρL/S, wobei ρ = 1/σ der spezifische Widerstand ist. Somit erhalten wir die bekannte Form des Ohmschen Gesetzes: I = V / R.

Der spezifische Widerstand ρ ist eine Materialkonstante, deren Wert mit der Temperatur variiert: ρ_t = ρ₀(1 + αΔT + βΔT² + ...). Oft wird eine vereinfachte lineare Beziehung verwendet: ρ_t = ρ₀(1 + αΔT), wobei α der Temperaturkoeffizient des Widerstands ist. Daraus folgt α = (ρ_t - ρ₀) / (ρ₀ΔT).

Der Joule-Effekt

Wenn elektrischer Strom durch einen Leiter fließt, wird Energie in Form von Wärme abgegeben. Dieses Phänomen ist als Joule-Effekt bekannt.

Die abgegebene Leistung dP ist dP = dW/dt = F ⋅ ds / dt. Die elektrische Ladung Q = nqdr. Aus dem Ohmschen Gesetz j = σE folgt dP/dr = nq(j/σ)v = j²ρ. Wenn die Stromdichte als Funktion des Stroms ausgedrückt wird, ist die Leistung P = RI². Die insgesamt abgegebene Energie W = P ⋅ t = RI²t = (V²/R)t.

Elektromotorische Kraft (EMK)

Die elektromotorische Kraft (EMK), oft mit ε oder E bezeichnet, ist die Energie, die pro Ladungseinheit bereitgestellt wird, um Ladungsträger durch einen Stromkreis zu bewegen. ε = dW/dQ. Die Leistung P = dW/dt = ε(dQ/dt) = εI. Im SI-Einheitensystem wird die EMK in Volt (V) gemessen.

Wenn ein Generator mit einem externen Widerstand R verbunden ist und der Generator einen internen Widerstand r hat, dann ist die Gesamtleistung P_gesamt = I²R + I²r. Die Klemmenspannung V_ab = ε - Ir. Im offenen Kreis (I=0) ist ε = V_ab. Der Wirkungsgrad (η) des Generators ist η = P_nutz / P_gesamt = I²R / (εI) = IR / ε = R / (R+r).

Für einen geschlossenen Stromkreis gilt die Summe der Spannungsabfälle gleich der Summe der EMKs: ΣV = ΣIR. Oder allgemeiner: Σε = ΣIR + ΣIr (wobei r die internen Widerstände sind).

Widerstandsschaltungen

Reihenschaltung von Widerständen

Bei einer Reihenschaltung von Widerständen ist die Gesamtspannung V_gesamt = V_ab + V_bc + ... + V_n-1,n. Nach dem Ohmschen Gesetz gilt I ⋅ R_gesamt = I ⋅ R₁ + I ⋅ R₂ + ... + I ⋅ R_n. Daraus folgt:

R_gesamt = R₁ + R₂ + ... + R_n

Der Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung ist die Summe der Einzelwiderstände.

Parallelschaltung von Widerständen

Bei einer Parallelschaltung von Widerständen teilt sich der Gesamtstrom auf: I_gesamt = I₁ + I₂ + ... + I_n. Da die Spannung über alle parallel geschalteten Widerstände gleich ist (V_ab), gilt nach dem Ohmschen Gesetz: V_ab / R_gesamt = V_ab / R₁ + V_ab / R₂ + ... + V_ab / R_n. Daraus folgt:

1 / R_gesamt = 1 / R₁ + 1 / R₂ + ... + 1 / R_n

Der Kehrwert des Gesamtwiderstands einer Parallelschaltung ist die Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände.

Kirchhoffsche Regeln

Kirchhoffsche Knotenregel (1. Gesetz)

Die Kirchhoffsche Knotenregel besagt, dass die Summe aller Ströme, die in einen Knotenpunkt fließen, gleich der Summe aller Ströme ist, die aus diesem Knotenpunkt herausfließen. Oder anders ausgedrückt: Die algebraische Summe aller Ströme in einem Knoten ist Null:

ΣI_i = 0

Kirchhoffsche Maschenregel (2. Gesetz)

Die Kirchhoffsche Maschenregel besagt, dass die algebraische Summe aller Spannungen (Spannungsabfälle und EMKs) in einem geschlossenen Stromkreis (Masche) Null ist:

ΣV_i = 0 oder ΣEMK = ΣIR

Praktische Anwendung der Regeln

Bei der Anwendung der Regeln wählt man zunächst eine Stromrichtung. Wenn das Ergebnis negativ ist, fließt der Strom in die entgegengesetzte Richtung. Für Knoten B gilt beispielsweise: I₁ + I₂ + I₃ = 0 (wobei die Vorzeichen je nach gewählter Richtung gesetzt werden). Für Maschen können Gleichungen wie ε₁ + ε₂ = I₁R₁ - I₂R₂ oder ε₂ + ε₄ - ε₂ = I₂R₂ - I₃(R₃ + R₄) aufgestellt werden. Durch Lösen des Gleichungssystems mit n Unbekannten können die Ströme berechnet werden.

Maschenstromanalyse (Zyklenströme)

Bei komplexen Schaltungen, bei denen die Anzahl der Unbekannten und Gleichungen sehr hoch ist, kann die Maschenstromanalyse (mit zirkulierenden Strömen, auch Maxwellsche Zyklenströme genannt) die Anzahl der Unbekannten reduzieren. Zum Beispiel:

• ε₁ + ε₂ = I*₁(R₁ + R₂) - I*₂R₂
• ε₃ + ε₄ - ε₂ = I*₂(R₂ + R₃ + R₄) - I*₁R₂

Die tatsächlichen Zweigströme I können dann aus den Maschenströmen I* berechnet werden, z.B. I = I*₁ - I*₂, I₃ = -I*₂.

Anwendungen und Messgeräte

Amperemeter

Ein Amperemeter wird in Reihe mit dem zu messenden Stromkreisabschnitt geschaltet, um die Stromstärke zu messen. Wenn der zu messende Strom den Maximalwert des Amperemeters überschreitet, wird ein Shunt-Widerstand (R_s) parallel zum Amperemeter geschaltet, um einen Teil des Stroms abzuleiten und das Messgerät zu schützen. Es gilt:

• Knotenregel: I = I_A + I_s
• Spannungsgleichheit: I_AR_A = I_sR_s

Daraus folgt I_s = I_A(R_A/R_s). Der Gesamtstrom ist I = I_A[1 + (R_A/R_s)]. Um den Messbereich um den Faktor 10ⁿ zu erweitern, muss R_s = R_A / (10ⁿ - 1) sein.

Voltmeter

Ein Voltmeter wird parallel zwischen zwei Punkten geschaltet, um die Potentialdifferenz (Spannung) zwischen diesen Punkten zu messen. Um den Messbereich eines Voltmeters zu erweitern, wird ein Vorwiderstand (R_v) in Reihe mit dem Voltmeter geschaltet. Die Gesamtspannung ist V = V_M + V_R, wobei V_M die Spannung über dem Messwerk und V_R die Spannung über dem Vorwiderstand ist. Da der Strom durch beide gleich ist: I = V_M/R_M = V_R/R_v. Die Gesamtspannung ist V = I(R_M + R_v). Der Messbereich wird um den Faktor 10ⁿ erweitert, wenn R_v = (10ⁿ - 1)R_M ist.

Batterieschaltungen

Reihenschaltung von Batterien

Bei einer Reihenschaltung von n Batterien (oder Zellen) mit jeweils der EMK ε und dem internen Widerstand r, die an einen externen Widerstand R angeschlossen sind, ist der Gesamtstrom:

I = (nε) / (R + nr)

Parallelschaltung von Batterien

Bei einer Parallelschaltung von n Batterien (oder Zellen) mit jeweils der EMK ε und dem internen Widerstand r, die an einen externen Widerstand R angeschlossen sind, ist der Gesamtstrom:

I = ε / [R + (r / n)]