Grundlagen der Geometrie: Winkel, Parallelen und Dreieckspunkte
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Grundlagen der Winkelmessung
Winkel: Wird als die geometrische Figur definiert, die durch zwei von einem gemeinsamen Punkt ausgehende Strahlen gebildet wird.
Winkel messen: Die Größe eines Winkels wird als Grad bezeichnet.
Sexagesimalsystem: Teilt den Kreis in 360 gleiche Teile. Jeder dieser Teile ist ein sexagesimaler Grad (1°).
Bogensystem (Radiant): Entspricht der Amplitude, die durch einen Bogen des Umfangs erzeugt wird, dessen Länge dem Radius entspricht.
Positive Winkel: Entstehen, wenn die Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt.
Höhenwinkel (Elevationswinkel): Winkel, der von der Horizontalen nach oben gemessen wird.
Depressionswinkel (Tiefenwinkel): Winkel, der unterhalb der Horizontalen gemessen wird.
Winkel zwischen parallelen Geraden
Werden zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden (Transversale) geschnitten, entstehen acht Winkelpaare mit spezifischen Beziehungen.
Wechselwinkel (Alternierende Innenwinkel)
Dies sind die Winkel, die zwischen den Parallelen liegen, aber auf gegenüberliegenden Seiten der Transversale. Sie sind gleich groß.
Die Winkel 2 und 3 sind gleich.
Konjugierte Innenwinkel (Ergänzungswinkel)
Diese Winkel sind nicht benachbart und liegen auf der gleichen Seite der Transversale, beide innerhalb der Parallelen. Sie sind supplementär (ergänzen sich zu 180°).
$$\hat{A} + \hat{B} = 180^{\circ}$$
Gleichliegende Winkel (Korrespondierende Winkel)
Sie liegen auf der gleichen Seite der Transversale, aber einer innen und einer außen. Sie sind gleich groß.
Der Satz des Pythagoras
Der Satz besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten (Schenkel) ist.
Geraden und bemerkenswerte Punkte eines Dreiecks
Die Mittelsenkrechten
Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks sind die Linien, die senkrecht zu jeder der Seiten in deren Mittelpunkten stehen.
Der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks heißt Umkreismittelpunkt (Zirkumzentrum) und ist das Zentrum des Umkreises.
Die Höhen
Die Höhen eines Dreiecks sind die Linien, die von einem Eckpunkt senkrecht auf die gegenüberliegende Seite (oder deren Verlängerung) verlaufen.
Der Schnittpunkt der drei Höhen eines Dreiecks heißt Höhenschnittpunkt (Orthozentrum).
Die Winkelhalbierenden
Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks sind die Linien, die jeden der Innenwinkel in zwei gleiche Winkel teilen.
Der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks heißt Inkreismittelpunkt (Incenter) und ist das Zentrum des eingeschriebenen Kreises (Inkreis).
Die Seitenhalbierenden (Medianen)
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind die Linien, die von einer Ecke zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verlaufen.
Der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks wird als Schwerpunkt (Zentroid) bezeichnet.
Übungsaufgabe
Zeichnen Sie zwei Dreiecke (ein gleichschenkliges und ein gleichseitiges) und bestimmen Sie den Umkreismittelpunkt, den Höhenschnittpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Schwerpunkt.