Grundlagen der Gravitation: Keplers Gesetze, Newtons Gesetz & Energie

Keplers Gesetze der Planetenbewegung

Keplers Gesetze sind empirische Gesetze, die im siebzehnten Jahrhundert formuliert wurden, um die Bewegung der Planeten um die Sonne zu beschreiben. Es gibt drei dieser Gesetze:

1. Keplersches Gesetz: Das Gesetz der Bahnen

Die Planeten beschreiben elliptische Bahnen, wobei die Sonne in einem ihrer Brennpunkte steht. Der Drehimpuls L = r × m ⋅ v ist konstant.

2. Keplersches Gesetz: Der Flächensatz

Der Ortsvektor von der Sonne zu einem Planeten überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen. Das bedeutet, dass die Flächengeschwindigkeit konstant ist. Eine Folge davon ist, dass die lineare Geschwindigkeit des Planeten größer ist, je näher er der Sonne kommt. Dieses Gesetz ist gleichbedeutend mit der Erhaltung des Drehimpulses des Planeten in Bezug auf die Sonne.

Die Fläche des Parallelogramms, das durch die Vektoren r und dr beschrieben wird, ergibt sich aus der Größe des Vektorprodukts. Die Fläche des Dreiecks ist die Hälfte davon.

3. Keplersches Gesetz: Das Gesetz der Perioden

Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich proportional zu den Kuben ihrer großen Halbachsen (mittleren Entfernungen) von der Sonne. Eine Folge davon ist, dass die lineare Geschwindigkeit der Planeten nicht konstant ist, sondern vom Bahnradius abhängt: Ein Planet bewegt sich schneller, je kleiner die von ihm beschriebene Umlaufbahn ist.

Keplers Gesetze wurden später theoretisch durch Newtons Gravitationsgesetz bewiesen, indem die Zentripetalkraft der Gravitationskraft gleichgesetzt wurde.

Newtons Gesetz der universellen Gravitation

Es wurde im siebzehnten Jahrhundert von Isaac Newton formuliert und ermöglichte es, alle damals bekannten Gravitationseffekte zu erklären, darunter die Bewegung der Planeten im Sonnensystem, die Gezeiten oder den Fall von Körpern auf der Erde. Letztendlich regelt es die Wechselwirkungen zwischen zwei Massen.

Das Gesetz besagt: Jeder Körper im Universum zieht jeden anderen Körper mit einer zentralen Kraft an, die proportional zum Produkt der beiden Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands zwischen ihnen ist. Ihre Richtung ist die Verbindungslinie der beiden Körper, und ihr Sinn ist anziehend. Mathematisch wird sie wie folgt formuliert:

• F ist die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern der Massen m₁ und m₂, die als punktförmig in ihren Zentren angenommen werden.
• r ist der Abstand zwischen den Zentren, und r̂ ist ein Einheitsvektor, der von dem Körper, der die Kraft ausübt, zu dem Körper zeigt, der die Kraft erfährt. Das Minuszeichen zeigt an, dass die Kraft anziehend ist.
• G ist eine Konstante, die als "Gravitationskonstante" bezeichnet wird. Sie wurde 1785 von Henry Cavendish experimentell mit einer Torsionswaage gemessen. Deren Funktionsweise besteht darin, das Drehmoment zu bestimmen, das einen Faden verdreht. Mit einem Spiegel und vier Körpern (zwei große und zwei kleine) konnte ihr Wert bestimmt werden.

Durch Kenntnis des Wertes von G konnten die Massen der Sonne und der Planeten bestimmt werden.

Die Gleichung der Gravitationskraft gilt für beide Massen. Zum Beispiel ist die Anziehungskraft der Erde auf den Mond gleich und entgegengesetzt der Kraft, die der Mond auf die Erde ausübt. Für die Gravitationsfeldstärke g₀ an der Oberfläche eines Himmelskörpers gilt in Vektorform:

g₀ ermöglicht es uns, die Gravitationsfeldstärke an der Oberfläche des Himmelskörpers zu berechnen.

Wenn wir ein System von Teilchen haben, ist die Gravitationskraft auf jedes einzelne Teilchen die Vektorsumme der Kräfte, die von den anderen Teilchen ausgeübt werden.

Gravitationspotenzielle Energie

Die Gravitationskraft ist eine konservative Kraft und besitzt daher eine zugehörige potenzielle Energiefunktion, E_p. Die Arbeit, die von dieser Kraft zwischen zwei Punkten verrichtet wird, ist gleich der Abnahme dieser potenziellen Energie. Die Arbeit der konservativen Kraft ist:

Die gesamte Arbeit ist die Summe der elementaren Arbeiten, die wir durch Integration erhalten:

Daraus folgt, dass die potenzielle Energie eines Teilchens der Masse m₁ in einem Abstand r von einer anderen Masse m₂ gleich ist:

Hierbei definieren wir die potenzielle Energie im Unendlichen als Null. Der Grund für das negative Vorzeichen ist, dass die Gravitationskraft immer anziehend wirkt und eine externe Kraft erforderlich ist, um einen Körper mit konstanter Geschwindigkeit aus einem Gravitationsfeld ins Unendliche zu bewegen.

Die potenzielle Energie, die zwei Massen in einem Abstand r voneinander zugeordnet ist, ist gleich der Arbeit, die die Gravitationskraft verrichten würde, um sie unendlich weit voneinander zu trennen (r_B = ∞).

Da diese Energie eine skalare Größe ist, ist ihre SI-Einheit das Joule.

Für ein System mit mehr als zwei Massen ist die potenzielle Energie des Systems die Summe der potenziellen Energien aller möglichen Paare von Massen. Wenn wir zum Beispiel ein System aus drei Massen haben:

Durch die Wirkung der Gravitationskraft neigen Körper dazu, spontan in Regionen niedrigerer potenzieller Energie zu fallen.

Potenzielle Energie nahe der Erdoberfläche

Die Gravitationskraft auf einen Körper der Masse m ist sein Gewicht F = -m ⋅ g ⋅ ĵ (wobei ĵ der Einheitsvektor in y-Richtung ist). Unter der Annahme eines konstanten g-Wertes in Erdnähe ist die Arbeit der Gewichtskraft, wenn der Körper senkrecht von Punkt A nach B verschoben wird:

Daraus ergibt sich die potenzielle Energie an einem Punkt in einer Höhe h als:

Hierbei haben wir den Bezugspunkt für die Energie bei h = 0 gewählt.

Wir können auch folgende Überlegung anstellen: Wenn ein Körper der Masse m, der sich auf der Erdoberfläche befindet, auf eine Höhe h steigt, kann die Änderung der potenziellen Energie ausgedrückt werden als: