Grundlagen der Kräfte: Vektoren, Hookesches Gesetz & Addition

Was sind Kräfte?

Kräfte sind physikalische Einwirkungen, die die Position eines Körpers verändern oder Verformungen verursachen können. Sie wirken durch direkten Kontakt oder aus der Ferne.

Darstellung von Kräften

Um eine Kraft vollständig zu beschreiben, reicht es nicht aus, nur ihren Betrag in Newton (N) anzugeben. Man muss auch ihre Richtung und ihren Sinn definieren. Daher sind Kräfte vektorielle Größen und werden grafisch durch Vektoren (Pfeile) dargestellt.

Merkmale einer Kraft

• Betrag (Intensität): Der Wert der Kraft, gemessen in Newton.
• Richtung: Die gerade Linie (Wirkungslinie), auf der die Kraft wirkt.
• Sinn: Gibt an, in welche der beiden möglichen Richtungen auf der Wirkungslinie die Kraft zeigt.
• Angriffspunkt: Der Punkt, an dem die Kraft auf einen Körper einwirkt und wo der Vektor beginnt.

Kräfte und Verformungen: Das Hookesche Gesetz

Das Hookesche Gesetz beschreibt die elastische Verformung von Festkörpern. Die Formel lautet: F = k · d

Dabei ist k die Proportionalitätskonstante, die für jede Feder spezifisch ist und in Newton pro Meter (N/m) ausgedrückt wird. Sie wird auch als Federkonstante oder Elastizitätskonstante bezeichnet. Ihr Wert gibt an, welche Kraft erforderlich ist, um eine Feder um einen Meter (1 m) zu dehnen.

Beispielrechnung

Eine Feder dehnt sich um 5 cm, wenn eine Kraft von 60 N auf sie wirkt. Bestimmen Sie:

1. Die Federkonstante der Feder.
2. Die Dehnung bei Anwendung einer Kraft von 20 N.

Lösung:

a) Berechnung der Federkonstante (k)

Wir verwenden die Formel F = k · d. Zuerst wandeln wir die Dehnung in Meter um: 5 cm = 0,05 m.

Anschließend setzen wir die Werte ein und stellen nach k um:

60 N = k · 0,05 m

k = 60 N / 0,05 m = 1200 N/m

b) Berechnung der Dehnung (d)

Wir verwenden dieselbe Formel mit den neuen Werten und der berechneten Konstante k:

20 N = 1200 N/m · d

d = 20 N / 1200 N/m ≈ 0,017 m = 1,7 cm

Addition von Kräften (Kräftezusammensetzung)

Um skalare Größen wie die Masse zu addieren, genügt es, ihre Werte zu summieren (z. B. m_ges = m₁ + m₂). Bei der Addition von Kräften müssen wir jedoch anders vorgehen, da es sich um Vektoren handelt. Hierbei müssen nicht nur der Betrag, sondern auch die Richtung und der Sinn berücksichtigt werden.

Die Operation zur Bündelung von Kräften wird als Kräftezusammensetzung bezeichnet. Das Ergebnis der Addition von zwei oder mehr Kräften (F₁, F₂, F₃, ...) nennt man resultierende Kraft R. Jede einzelne Kraft ist dabei eine Komponente.

R = F₁ + F₂ + F₃ + ...

Wir betrachten hier konkurrierende Kräfte, das heißt, alle Kräfte greifen am selben Punkt an.

Addition paralleler Kräfte

Kräfte mit gleichem Sinn

Die Beträge werden addiert: R = F₁ + F₂. Die resultierende Kraft hat dieselbe Richtung und denselben Sinn wie die Komponenten.

Kräfte mit entgegengesetztem Sinn

Der Betrag der kleineren Kraft wird vom Betrag der größeren Kraft subtrahiert: R = F₁ - F₂ (wenn F₁ > F₂ ). Die resultierende Kraft hat dieselbe Richtung wie die Komponenten und den Sinn der betragsmäßig größeren Kraft.

Addition nicht-paralleler Kräfte (Kräfteparallelogramm)

Um nicht-parallele Kräfte zu addieren, wendet man die Parallelogrammregel an:

1. Zeichnen Sie die beiden Kraftvektoren so, dass sie am selben Angriffspunkt beginnen.
2. Zeichnen Sie vom Ende jedes Vektors eine Parallele zum jeweils anderen Vektor.
3. Es entsteht ein Parallelogramm. Die Diagonale, die vom gemeinsamen Angriffspunkt ausgeht, stellt die resultierende Kraft R dar.

Spezialfall: Senkrechte Kräfte

Wenn zwei Kräfte senkrecht zueinander stehen, wird das Parallelogramm zu einem Rechteck. Die Diagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Mit dem Satz des Pythagoras können wir den Betrag der resultierenden Kraft berechnen:

R = √(F₁² + F₂²)

Beispiele zur Kräfteaddition

Beispiel 1: Parallele Kräfte, gleicher Sinn

Aufgabe: Berechnen Sie die resultierende Kraft von zwei parallelen Kräften mit 50 N und 80 N, die in die gleiche Richtung wirken.

Lösung: Die Beträge werden addiert: R = F₁ + F₂ = 50 N + 80 N = 130 N.

Beispiel 2: Parallele Kräfte, entgegengesetzter Sinn

Aufgabe: Berechnen Sie die resultierende Kraft von zwei parallelen Kräften mit 90 N und 30 N, die in entgegengesetzte Richtungen wirken.

Lösung: Die Beträge werden subtrahiert: R = 90 N - 30 N = 60 N.

Beispiel 3: Grafische Lösung für nicht-parallele Kräfte

Aufgabe: Zwei Kräfte von 20 N und 25 N bilden einen Winkel von 45°. Berechnen Sie grafisch:

1. Den Betrag der resultierenden Kraft.
2. Den Winkel, den die resultierende Kraft mit der 25-N-Kraft bildet.

Lösung (grafische Methode):

1. Wählen Sie einen Maßstab, z. B. 1 N = 2 mm.
2. Zeichnen Sie die 25-N-Kraft als horizontalen Vektor.
3. Zeichnen Sie vom selben Startpunkt aus die 20-N-Kraft in einem 45°-Winkel zur ersten Kraft.
4. Wenden Sie die Parallelogrammregel an, um die Diagonale zu konstruieren.
5. Messen Sie die Länge der Diagonale und den Winkel mit einem Lineal und einem Geodreieck.

Ergebnisse der Messung:

• a) Die gemessene Länge der Diagonale beträgt ca. 83 mm. Umgerechnet mit dem Maßstab ergibt sich der Betrag der resultierenden Kraft: R = 83 mm / (2 mm/N) = 41,5 N.
• b) Der gemessene Winkel zwischen der resultierenden Kraft und der 25-N-Kraft beträgt ca. 20°.