Grundlagen der Linearen Algebra und Analysis

A.1.7. Unterraum

Eine Teilmenge H eines Vektorraums V ist genau dann ein Unterraum, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• Der Nullvektor 0 ist in H enthalten.
• Abgeschlossenheit unter Addition: Für alle Vektoren v1 und v2 aus H ist auch v1 + v2 in H enthalten.
• Abgeschlossenheit unter Skalarmultiplikation: Für jeden Vektor v aus H und jede reelle Zahl k ist auch k · v in H enthalten.

Beispiele für keine Unterräume:

• Mengen mit Potenzen.
• Vektoren u = (x, y), bei denen xy + x = 0 gilt (Produkt von zwei Koordinaten).
• Logarithmen und ähnliche Funktionen.

Beispiele für Unterräume:

• ax + by + cz = 0
• c · x + d · y = 0

A.4.2. Kern und Bild einer linearen Abbildung

Sei f eine lineare Abbildung. Wir definieren:

• Kern (Kernel) von f, ker(f): Die Menge aller Vektoren, deren Bild der Nullvektor ist. Der Kern ist ein Unterraum.
• Bild von f, im(f): Die Menge aller Vektoren, die als Bild eines Elements aus dem Definitionsbereich entstehen. Das Bild ist ebenfalls ein Unterraum.

Die Dimension des Bildes entspricht dem Rang der zugehörigen Matrix:

dim(im(f)) = rg(M(f))

Wichtige Eigenschaften:

• f ist injektiv ↔ ker(f) = {0}
• f ist surjektiv ↔ rg(M(f)) = dim(Zielraum)
• Dimensionssatz: dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(Definitionsbereich)
• Wenn Definitionsbereich = Zielraum und f injektiv, dann ist f bijektiv.
• Wenn Definitionsbereich = Zielraum und f surjektiv, dann ist f bijektiv.

A.5.1. Eigenwerte und Eigenvektoren

Eine reelle Zahl λ heißt Eigenwert der Matrix A, wenn ein vom Nullvektor verschiedener Vektor x existiert, sodass:

Ax = λx

Vektoren x, die diese Beziehung erfüllen, heißen Eigenvektoren von A zum Eigenwert λ.

Jeder Eigenvektor ist genau einem Eigenwert zugeordnet. Ein Eigenwert kann jedoch mit einem oder mehreren Eigenvektoren assoziiert sein.

A.6.1. Quadratische Formen

Eine reelle quadratische Form Q auf dem Vektorraum Rⁿ ist eine Abbildung Q: Rⁿ → R, die die Eigenschaft Q(λx) = λ²Q(x) für alle x ∈ Rⁿ und alle λ ∈ R erfüllt. Es gilt zudem Q(0) = 0.

Klassifikation quadratischer Formen:

• Positiv definit (PD): Q(x) > 0
• Positiv semidefinit (PSD): Q(x) ≥ 0
• Negativ definit (ND): Q(x) < 0
• Negativ semidefinit (NSD): Q(x) ≤ 0
• Indefinit: Kein festes Vorzeichen (Q(x) kann sowohl positive als auch negative Werte annehmen).

C.1.1. Konturlinien

Eine Konturlinie umfasst alle Punkte, an denen die Funktion den gleichen Wert annimmt. Bei einer Funktion f(x, y) entspricht dies der Darstellung der Niveaulinien in der xy-Ebene.

C.1.2. Stetigkeit

• Für f(x): f(x) ist stetig, wenn der Grenzwert dem Funktionswert entspricht.
• Für f(x, y): f(x, y) ist an einem Punkt (x0, y0) stetig, wenn der Grenzwert dem Funktionswert an diesem Punkt entspricht.

Eigenschaften der Stetigkeit:

• Alle elementaren Funktionen (Polynome, Sinus, Cosinus, Exponentialfunktion, Logarithmus etc.) sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
• Elementare Funktionen, die durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division verknüpft sind, ergeben ebenfalls stetige Funktionen.