Grundlagen der linearen Algebra: Zeilenraum, Kern und Spaltenraum

1. Row Raum A. Die Abschaffung wirkt auf A zu produzieren ein unregelmäßiges Array U Reihe Raum U ist direkt gewonnen: seine Dimension ist der Rang r und von Null verschiedene Zeilen eine Basis bilden. Nun ist jeder elementare Operation ändert nichts an der Reihe Platz, da jede Zeile der Matrix U ist eine Kombination von Original-Zeilen von A. Da zur gleichen Zeit jeden Schritt kann vermieden werden durch
grundlegende Bedienung, dann fil (A) = fil (U), sofil (A) hat die gleiche dimensi'on r und der gleichen Basis. Beachten Sie, dass wir nicht beginnen mit der m Zeilen von A, die die Zeile Platz verbraucht und verwerfen m r für ein Basis. Könnte amoshacerlo, kann aber Zeilen cu'ales entscheiden dif'? Einfache Regel ist es leicht, einfach m'as Zeilen holen
U von Null verschieden. Beispiel. Bestimmt ein Teilraum von R4 Basis durch die Vektoren v1 = (1, 1, 0, 1) T, v2 = (1, 2, 2, 1) T; generiert v3 = (3, 4, 2, 3) T.
Wir verfügen über Generatoren Vektoren als Zeilen einer Matrix A = z (1101 / 1 2 2 1 / 3 4 2 3) Der Teilraum ist dann die Zeile RaumA. Reduzierte Gauß-Elimination, A = (1101 / 1 2 2 1 / 3423) = (1101 / 0 1 2 0 / 0120) = (1101 / 0120/0000) = U Since U verfügt über zwei Zapfen, r = 2, also der Teilraum Dimension ist zwei. Als Basis der fil (U) besteht aus den ersten beiden Reihen zusammen, so auch fil (A), so dass eine Grundlage Teilraum ist w 1 = (1, 1, 0, 1) T, w 2 = ( 0, 1, 2, 0) T.

2. Kernvektor A. Bildet sich durch die Vektoren x, so dass Ax = 0. In Gauß-Elimination reduziert das System Ax = 0 das System Ux = 0 genau, ohne dabei eine der Lösungen. Daher ist die Null-Raum A ist der gleiche wie der von U, Ker (A) = Ker (U): Von den m scheinbaren Beschränkungen durch die m Gleichungen Ax = 0 nur insoweit,r sind unabhängig, gerade durch die Reihen von U r von Null verschieden angegeben. So reduzierte die Kernvektor von A hat die Dimension n - r, die die freie Variable ist n'umero System Ux = 0, entsprechend den Spalten der U ohne Zapfen. Um ein Fundament, das wir geben können den Wert 1 für jede freie Variable zu erhalten, die restlichen Null und lösen Ux = 0 für r Basisvariablen durch Rückwärtseinsetzen. Die n und r Vektoren hergestellt bilden die Grundlage für Ker (A).

Beispiel. Bestimmt ein Teilraum W Basis des R4, durch die Vektoren x = (x1, x2, x3, x4) gebildet T
, so dass
- X1 + x2 - x3 + 2x4 = 0 / 2x1 - 2x2 + x3 = 0 / 5x1 - 5x2 + 3x3 - 2x4 = 0 ist, dass W = (x € R 4 / Ax = 0), wobei A = (-11 -- 12 / 2 -2 1 0 / 5 -5 3 -2) Gauß-Elimination führt zu W = Ker (U), wobei U = (-1 1 -1 2 / 0 0 -1 4 / 0000) Da in diesem Fall n = 4 und r = 2, ist die Dimension von W n - r = 2. Die grundlegenden Variablen x 1 und x 3 und die freiex 2 und x 4. Das System Ux = 0 x 1 + x 3 = x 2 + 2 x 4, x 3 = 4 x 4 Geben Sie die Werte x 2 = 1, x 4 = 0, haben wir den Vektor v 1 = (1, 1, 0 , 0) T. Mit den Werten x 2 = 0, x 4 = 1 ergibt y 2 = (- 2, 0;4, 1) T. Die Vektoren v 1, v 2 bilden eine Grundlage für die W.

3. Raum der Spalte A. Masters konnte festgestellt werden, dass die Spalten von A sind die Reihen von AT und handeln AT. Es ist besser, jedoch halten die Spalte Raum im Sinne der ursprünglichen Zahlen m, n und r. Es ist wichtig zu beachten, dass A nicht über die gleichen Spalte Raum U. Die Gauß-elinimación die Spalten. Doch jedes Mal, dass bestimmte Spalten von Ubilden eine Basis des Raumes
Spalte U, die entsprechenden Spalten von A bilden eine Basis für die Spalte Raum A. Der Grund dafür ist: Wir wissen, dass Ax = 0 genau dann, wenn U ~ x = 0. Die beiden Systeme sind gleichwertig und haben die gleichen Lösungen. Im Hinblick auf die multiplicaci'on Matrix, Ax = 0 drückt eine lineare Abhängigkeit zwischen den Spalten von A mit Koeffizienten gegeben durch die Koordinaten von x. Daher entspricht jede dieser Einheiten eine lineare Abhängigkeit Ux = 0 unter den Spalten von U und mit den gleichen Koeffizienten. Wenn die Menge der Spalten von A unabhängig ist, ist das gleiche gilt für die SpaltenU und umgekehrt. Nun, um auf der Grundlage von col (A) zu finden, machten wir uns auf der Grundlage von col (U) zu finden. Doch die Grundlage von col (U) wird durch die r Spalten von U mit dem Zapfen gebildet. Also wir haben: Die Dimension der col (A) entspricht dem Rang r, die die Dimension der fil (A) alle Eltern, die Zahl der unabhängigen Zeilen ist gleich n'umero unabhängigen Spalten. Eine Basis col (A) wird durch die gebildetenr entsprechenden Spalten von A, U, um die Spalten mit den Zapfen.

Beispiel. Für die Matrix A = (1201 / 0110 / 1201) Gauß-Elimination führt zu U = (1201 / 0110 / 0000)
Für U, der Pivot-Spalten sind die erste und die zweite, dann eine Basis von Kohl (A) wird durch den ersten beiden Spalten von A gebildet: (1, 0, 1) T, (2, 1, 2) T.

4. Die linke Kernvektor von A. Es ist der Abstand von null. Wie bei jedem Elternteil, müssen Sie die Dimension der Spalte Raum + Dimension null space = Anzahl der Spalten, kann diese Regel, um AT, die m Spalten angewendet werden. Als Folge Rang = Spalte Rang = r, so
Dimka (AT) = m - r. Sie können auf der Grundlage von Ker (AT) in der gleichen Weise zu bestimmen, wie mit dem Kernvektor A. Übung durchgeführt wurde. Legt fest, auf der Grundlage der vier grundlegenden Teilräume der Matrix A = (2402/6-210/8212/-41-3-5) erklärt, wie man die Grundlage für einen Teilraum zu erhalten, lösen wir die verbleibenden Probleme.
Denn auf der Grundlage von einem Generator-System (Aufgabe 3), nur einen Raum zu finden Basis Zeile der Matrix, deren Zeilen sind die Vektor-Generatoren.

Beispiel. Wir erhalten auf der Grundlage von Unterraum aufgespannt von den erzeugenden System R3: v1 = (1, 2, 1) T, v2 = (3, 2, 1) T; v3 = (4, 0, 0) T; v4 = ( -1, 2, 1) T.
Haben die Vektoren als Zeilen einer Matrix und reduzieren sie auf eine Staffelung A = (121/321/400/-121) -> (121/0-4-2/0-8-4/042) -> (121 / 0-4-2/000/000) Die Reihe ist dimensi'on Platz zwei, dann die vier Vektoren s'olo zwei voneinander unabhängig sind. Ein Unterraum Grundlage besteht aus Vektoren (1, 2, 1) T, (0, - 4, - 2)T. Für eine Basis eines Vektorraums aus einem freien System (Aufgabe 4) reicht aus, um den Raum entsprechende Zeilenvektor wird unabhängig bleiben zu erweitern, um die Dimension. Die Reihe räumlichen Dimension ist zwei, dann die vier Vektoren s'olo zwei voneinander unabhängig sind. Eine Basis
Teilraum besteht aus Vektoren (1, 2, 1) T, (0, 4, 2) T.
Für eine Basis eines Vektorraums aus einem freien System (Aufgabe 4) reicht aus, um den Raum entsprechende Zeilenvektor wird unabhängig bleiben zu erweitern, um die Dimension zu vervollständigen

Beispiel. Wir schlossen eine Basis von R4 durch die Vektoren v1 = (1, 1, 0, 1) T, v2 = (1, 2, 2, 1) T; v3 =
(3, 0, 2, 3) T. Wir haben die Vektoren als Zeilen einer Matrix und reduzieren sie auf eine Staffelung. (1101/1221/3023) -> (1101/0120/0-320) -> (1101/0120 / 0080) Wenn ein ~ nadimos vierte Zeile mit einer Pivot, zum Beispiel, (0, 0, 0, 1) T, haben wir die räumlichen Dimension der Matrix Zeile sind die ersten drei Vektoren und dieses Zimmer ist vier, dann ein Vektor
Basis abgeschlossen ist, zum Beispiel, (0, 0, 0, 1) T. Um die Gleichungen ein Teilraum von einem Generator-System, Generator-System zu berechnen ist als Zeilen einer Matrix, und dies hat eine Zeile mit einem generischen Vektor. Matrix wird reduziert und durch Gauß-Elimination gebildet, zwingen die Aufhebung der "letzte Zeile der gestaffelten Ende.

Beispiel. Erhalten Sie die Gleichungen der Teilraum aufgespannt durch die Vektoren v1 = (1, 0, 3) T, v2 = (-2, 3, -1) T
Haben die Vektoren als Zeilen einer Matrix, indem Sie eine dritte Zeile mit einem generischen Vektor (x, y, z) T ein Teilraum und Verringerung in Stufen: (103/-23-1/xyz) -> (103/035 / 0YZ-3x) -> (103/035/00z-3x- (5 / 3) y) Da der Vektor (x, y, z) T est'a im Teilraum, der Raum dimensi'on Zeile der Matrix muss zwei, dann die letzte Zeile Echelon Formular muss Null sein. Daher ist der Teilraum
W = ((x, y, z) T / z - 3x - (5 = 3) y = 0)

2.4. Operationen auf Teilräume
Wenn wir auf der Grundlage von ein Untervektorraum bestimmen, wir arbeiten immer noch mit ihnen. Grundsätzlich lassen sich zwei Operationen mit Teilräume durchgeführt werden: Kreuzungen und Beträge 2.4.1. Schnittpunkt der Teilräume
Sei V ein eV und W 1, W 2 Vektor Teilräume von V. Der Schnittpunkt W = W 1 \ W 2 ist die Menge von Vektoren von V est'an auf beiden W 1 und W 2. Es ist leichter, Schwierigkeiten zu sehen, dass W ein Teilraum ist. Beachten Sie, dass die Schnittmenge nicht vac'? Für jeden, da ist zumindest die Null-Vektor inW. Um den Schnittpunkt der Teilräume, die auf natürliche Weise zu beschreiben, ist für jeden Teilraum in Form eines homogenen System von Gleichungen setzen. Der Teilraum Kreuzung wird sicherstellen, dass, wenn alle Einschränkungen auf.
Beispiel. Für Teilräume
W1 = ((x, y, z) T = x + y + z = 0) / W2 = f (x, y, z) T = x-z = 0)
Teilraum W 1 W 2 = ((x, y, z) T = x + y + z = 0, x - z = 0)

2.4.2. Summe der Teilräume
Sei V ein eV und W 1; W 2 Vektor Teilräume von V Beachten Sie, dass im Allgemeinen die Vereinigung der Teilräume W 2 W 1 U (die Menge der Vektoren, die in einigen der beiden Teilräume sind) ist ein Untervektorraum. Zum Beispiel, wenn W 1 ist der Teilraum R 2 durch den Vektor erzeugt w 1 = 1 (, 0) T und W 2 der Teilraum überspannt von w 2 = (0, 1) T, natürlich Vektoren ~ w 1 und est'an ~ w 2 in W 1 [W 2, aber die Summew 1 + w 2 = (1, 1) T nicht in W 1 UW 2.
Es kann definiert werden, aber die Summe der Teilräume W = W 1 + W 2 als Generator Teilraum
von der Gewerkschaft W = <w 2 W 1 U>. Im Gegensatz zu der Kreuzung, auf einfache Weise auf den Teilraum Summe zu beschreiben, ist mit einem Generator oder Basis eines jeden Teilraum und bleiben Sie mit der Unabhängigen zu bestimmen, erhalten auf diese Weise auf der Grundlage von Teilraum hinaus.

Beispiel. Wir erhalten auf der Grundlage von Teilraum Summe W1 + W2 wo W1 = ((x, y, z) T / x + y = 0, z = 0)
W2 = ((x, y, z) T / z = 0): Eine Basis für W 1 ist w 1 = (1, - 1, 0) T-und B 2, B 2 = (1, 0, 0) T, w 3 = (0, 1, 0) T. Dann, W 1, W 2 und W 3 bilden ein Erzeugendensystem von W 1 + W 2. Nun hängt der Vektor w 1 auf die beiden anderen, dann eine Basis der Teilraum Summe gebildet wird durchw 2 = (1, 0, 0) T, w 3 = (0, 1, 0) T. Das heißt, W 1 + W 2 = W 2. Der Weg zu einer Grundlage der Teilraum Summe zeigt, dass jeder Vektor w von W = W 1 + W 2 kann als Summe w = w 1 + w 2 wobei w 1 € W 1 und W 2 W 2 € geschrieben werden, zu bestimmen.
Wenn die Teilräume gemeinsam haben, ist der Nullvektor, W 1 W 2 = 0 ist die Summe Teilraum
als direkte Summe von W 1 und W 2 und W bezeichnet wird durch W = 1 © W 2. In diesem Fall wird die Komponente Vektoren
w 1, w 2 descomposici'on w = w 1 + w 2 für jeden Vektor w aus der Summe bereits erwähnt sind einzigartig: der Vektor W zerlegt werden kann nur einen Weg.

Formel-Dimensionen.Ist W 1 und W 2 sind die beiden endlich dimensionalen Teilräumen
dim (W1 + W2) = dim (W1) + dim (W2) - dim (W1 W2):
Insbesondere dann, wenn W 1 W inter 2 = 0
dim (W1 © W2) = dim (W1) + dim (W2)

Beispiele.
[1] Für die lineare Abbildung T: R4! R3, T (x1, x2, x3, x4) = (x1 + x2 + x3, x2 + x4, x1 + x2 + x3 + x4),
muss im kanonischen Basen M (T, B CR 4, B c R 3) = (1110/0101/1111) Der Grund: Die erste Spalte der Matrix entspricht der Vektor-Bild von Tder erste Vektor der kanonischen Basis im R 4, geschrieben in Bezug auf die Basis can'onica in R 3, dh T ((1, 0, 0, 0) T) = (1, 0, 1) T, ( Bild Koordinatenvektor x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0). So werden die anderen Spalten als T erhalten ((0, 1, 0, 0) T) = (1, 1, 1) T, T ((0, 0, 1, 0) T) = (1, 0; 1) T, T ((0, 0, 0, 1) T) = (0, 1, 1) T

[2] Für die lineare Abbildung T: P4 [X] -> P3 [X], T (p (x)) = p 0 (x) muss im kanonischen Basen
B [c P4] [X] = (1, x, x2, x3; x4g; B [c P3] [X] = (1, x, x2, x3), ist die Matrix von T M (T, B CP4 [X], B c P3 [X]) = (01000/00200/00030/00004) Mal sehen, wie die Spalten erzeugt werden. Die erste ist das Bild von T der erste Vektor, das Polynom p (x) = 1. Da p 0 (x) = 0, dann ist T (p (x)) ist die Null-Polynom, dann die Koordinaten alle gleich Null sind in jeder Grundlage. Die zweite Spalte der Matrix T ist das Bild des Polynoms p (x) = x. Dies ist T (p (x)) = p '(x) = 1 = 1 + 0 x + 0 x 2 + 0 x 3; der Koordinaten (1, 0, 0, 0) auf der Grundlage can'onica P 3 [X] . Diese Koordinaten bilden die zweite Spalte der Matrix. Also auf,
T (x 2) = 2 x = 0 * 1 + 2 x + 0 x 2 + 0 x 3 ->(0, 2, 0, 0);
T (x 3) = 3 x 2 = 1 = 0 * 1 + 0 x + 3 x 2 + 0 x 3 -> (0, 0, 3, 0);
T (x 4) = 4 x 3 = 0 * 1 + 0 x + 0 x 2 + 4 x 3 -> (0;0, 0, 4), schaffen wir die Spalten der Matrix.

Dies erleichtert die Handhabung der lineare Anwendungen. So entstand in der [1] über T (x 1, x 2, x 3, x 4) = (1110/0101/1111) (x1x2x3x4) T, und das Beispiel [2], wenn p (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + 4 x 4,T (p (x)) = (01000/00200/00030/00004) (a0a1a2a3a4) T, die das Polynom 1 + 2 2 x + 3-3 x 2 + 4 4 x 3.

Beispiel. Für die lineare Abbildung T: U -> V, wo U = R3, V = R2 und Basen BU = ((1, 0, 0) T, (0, 1, 0) T, (0, 0, 1) T); BV = ((1, 0) T, (0, 1) T)
B `U = ((1, 0, 0) T, (1, 0, 1) T, (1, 1, 0) T), B` V = ((1, 1) T, (0, 1 ) T) wissen wir, dass die T-Matrix an der Basis BU, BV istM (T, BU, BV) = (-101/2-11) dann M (T, B 'U, B' V) = (10/-11) -1 (-101/2-11) (111 / 001/010) Schauen wir uns dann eine lineare Sichtweise kommt in der Regel entweder explizit, dh geben Sie Ihr Image auf einen Vektor gen'erico, oder haben wir feste Grundlagen, durch eine Matrix-Produkt
Vektor. Schließlich wird die folgende Formel verwandten Dimensionen im Kern Demonstration und Bild
einer linearen mit grundlegenden Teilräume eines ihrer verbundenen Matrizen.

Satz 3. Let U und V dimensi'on endliche Vektorräume über alle Felder Kund T: U -> V
ein linear. Dann dim (U) = Dimka (T) + dimIm (T) und beheben Sie die Basis in beiden Räumen, geschweige A € M m, n (K) die Matrix T in diesen Basen. Auf der einen Seite,
Dimka (T) = Dimka (A) = n-r, wobei r der Rang der Matrix A. Darüber hinaus dimIm (T) = dimcol (A) = r und damit erhalten wir die Formel.