Grundlagen der Logik: Von Aristoteles bis zur Booleschen Algebra

1. Der Allgemeine Begriff der Logik

Die Logik ist die Wissenschaft, die das Studium der Argumente und die Bestimmung, welche davon richtig und welche falsch sind, umfasst. Sie ist die Wissenschaft der korrekten Schlussfolgerungen (Deduktionen). Um die Richtigkeit zu bestimmen, ist es notwendig, die Regeln der korrekten Argumentation zu entdecken – dies ist die Aufgabe der Logik.

2. Gültigkeit und Wahrheit eines Arguments

Es ist wichtig, zwischen der Gültigkeit und der Wahrheit eines Arguments zu unterscheiden:

• Ein Argument ist gültig, wenn es die Gesetze der Deduktion beachtet.
• Es ist ungültig, wenn es diese Gesetze verletzt.

Die Regeln beziehen sich auf die Art und Weise, wie die Komponenten des Denkens verknüpft werden, nicht auf deren Inhalt (die Logik untersucht wie argumentiert wird, nicht was das Thema ist).

Definition der Modi und Trugschlüsse

Die korrekte Art der Argumentation kann zu einer falschen Schlussfolgerung führen. Umgekehrt kann eine falsche Form der Argumentation (ein Trugschluss), wie der Trugschluss der Bestätigung des Konsequens (eine korrumpierte Form des Modus Ponens), zufällig zu einer wahren Aussage führen.

3. Begriff der Schlussfolgerung (Argumentation)

Eine Schlussfolgerung ist eine Abfolge von zwei oder mehr Prämissen (Sätzen), die zu einer weiteren Aussage, der Schlussfolgerung, führen.

4. Die Logik des Aristoteles

Der Begründer der Logik als Wissenschaft war Aristoteles. Obwohl Platon die Notwendigkeit einer solchen Wissenschaft intuitiv erkannte, schuf Aristoteles die Gesetze des korrekten Denkens. Seine größte Leistung in dieser Wissenschaft war die Entwicklung des kategorischen Syllogismus.

5. Logische Extension und Intension

Jeder Begriff hat eine Bedeutung (Intension), welche die Menge der Eigenschaften ist, die den Begriff definieren.

Die Extension (oder der Umfang) bezieht sich auf die unbestimmte Vielzahl von Objekten oder Personen, auf die sich der Begriff bezieht.

6. Das Logische Urteil: Quantität und Qualität

Das logische Urteil, wie es in dieser Form der Logik definiert wird, ist der Prozess, durch den ein Konzept (das Prädikat) über ein Subjekt bejaht oder verneint wird. Ein Satz (grammatisch) hat die Wahrheitswerte wahr oder falsch.

Urteile werden klassifiziert nach:

• Qualität: Bejahend (positiv) oder Verneinend (negativ).
• Quantität: Allgemein (universal) oder Besonder (partikulär).

7. Klassifizierung der Sätze nach Qualität und Quantität (A, E, I, O)

1. A: Allgemein bejahend (Universal positiv)
2. E: Allgemein verneinend (Universal negativ)
3. I: Partikulär bejahend (Besonder positiv)
4. O: Partikulär verneinend (Besonder negativ)

8. Konversion von Sätzen: Konzept und Modi

Sätze können in andere Sätze umgewandelt werden, wobei ihr logischer Wert (Wahrheitswert) erhalten bleibt. Dies muss nach strengen Regeln erfolgen.

9. Modi der Satzkonversion

Es gibt drei Hauptmodi der Konversion:

1. Einfache Konversion (Simplex): Austausch von Subjekt und Prädikat. Gültig für E- und I-Sätze (z. B. feci).
2. Konversion per Akzidens: Das universelle Subjekt wird zu einem partikulären. Gültig für E- und A-Sätze (z. B. eva).
3. Kontraposition: Austausch von Subjekt und Prädikat, wobei beide negiert werden und die Qualität erhalten bleibt. Gültig für A- und O-Sätze (z. B. Asto).

10. Opposition von Sätzen

Zwei Sätze stehen in Opposition, wenn sie das gleiche Subjekt und Prädikat, aber unterschiedliche Quantität und/oder Qualität haben. Dies wird üblicherweise im Quadrat der Opposition dargestellt.

11. Begriff des Kategorischen Syllogismus

Eine kategorische Aussage ist eine Aussage, die absolut und ohne Einschränkungen etwas über das Subjekt prädiziert. Ein kategorischer Syllogismus ist eine Schlussfolgerung, die aus drei kategorischen Aussagen besteht.

12. Struktur des Kategorischen Syllogismus: Modi und Figuren

Der Syllogismus besteht aus einem Subjekt (S), einem Prädikat (P) und einem Mittelbegriff (M). Die Position des Mittelbegriffs in den Prämissen bestimmt die Figur des Syllogismus:

1. 1. Figur: M – P, S – M
2. 2. Figur: P – M, S – M
3. 3. Figur: M – P, M – S
4. 4. Figur: P – M, M – S

Die Kombinationsmöglichkeiten der Satztypen (A, E, I, O) bilden die Modi des Syllogismus. Es gibt 19 gültige Modi, die eine Reihe von Regeln befolgen:

• 1. Figur: AAA (Barbara), EAE (Celarent), AII (Darii), EIO (Ferio)
• 2. Figur: EAE (Cesare), AEE (Camestres), EIO (Festino), AOO (Baroco)
• 3. Figur: AAI (Darapti), EAO (Felapton), IAI (Disamis), AII (Datisi)
• 4. Figur: AAI (Bamalip), AEE (Calemes), IAI (Dimatis), EAO (Fesapo)

13. Der Hypothetische Schluss (Konditionaler Syllogismus)

Der hypothetische Schluss ist ein Argument aus zwei Prämissen, von denen die erste bedingt (konditional) ist. Wir kennen zwei Formeln für gültige Schlüsse:

1. Modus Ponens: Wenn A, dann B. / A ist der Fall. / Also: B.
2. Modus Tollens: Wenn A, dann B. / Nicht B ist der Fall. / Also: Nicht A.

14. Boolesche Logik und das Programm des Mathematizismus

George Boole entwickelte mit seinem Werk Eine mathematische Analyse der Logik (1847) die aristotelische Syllogistik weiter. Er untersuchte die Bedingungen, unter denen Syllogismen möglich sind, indem er Eigenschaften als Mengen betrachtete.

Das Programm des Mathematizismus betrachtet die Logik als ein Kapitel der Mathematik. Boole war der Ansicht, dass die traditionelle Logik auf die Algebra reduziert werden sollte.

15. Frege zur Logik