Grundlagen der Logik: Wahrheitstabellen, Operatoren & Problemlösung

Logische Operatoren und Wahrheitstabellen

Logik ist die Wissenschaft des Denkens und der Argumentation. Sie befasst sich mit der Gültigkeit von Schlussfolgerungen und der Struktur von Aussagen. Ein zentrales Werkzeug in der Logik sind Wahrheitstabellen, die die Wahrheitswerte von komplexen Aussagen basierend auf den Wahrheitswerten ihrer Bestandteile darstellen.

Negation (~): Nicht p

Die Negation kehrt den Wahrheitswert einer Aussage um. Wenn p wahr ist, ist ~p falsch, und wenn p falsch ist, ist ~p wahr.

Konjunktion (^): Und, aber

Die Konjunktion ist wahr, wenn alle verbundenen Aussagen wahr sind. Sie wird oft durch Wörter wie „und“ oder „aber“ ausgedrückt.

Disjunktion (v): Oder

Die Disjunktion ist wahr, wenn mindestens eine der verbundenen Aussagen wahr ist. Sie wird durch „oder“ ausgedrückt.

Exklusive Disjunktion (⊕): Entweder ... oder

Die exklusive Disjunktion ist wahr, wenn genau eine der verbundenen Aussagen wahr ist, aber nicht beide.

Implikation (→): Wenn p, dann q

Die Implikation ist nur dann falsch, wenn die erste Aussage (Prämisse) wahr und die zweite Aussage (Konklusion) falsch ist. Sie wird oft mit „wenn ... dann“, „p impliziert q“ oder „q folgt aus p“ ausgedrückt.

Bikonditional (↔): p genau dann, wenn q

Das Bikonditional ist wahr, wenn beide Aussagen denselben Wahrheitswert haben (beide wahr oder beide falsch). Es bedeutet, dass p eine notwendige und hinreichende Bedingung für q ist.

Wahrheitstabelle für zwei Variablen

Eine Übersicht der Wahrheitswerte für zwei Variablen:

Wahrheitstabelle für drei Variablen

Eine Übersicht der Wahrheitswerte für drei Variablen:

Grundlagen der Logik

Schlüsselfiguren der Logik

Die Logik wurde von vielen Denkern geprägt:

• Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716)
• George Boole (1815–1864)
• Aristoteles (384–322 v. Chr.)

Klassifikation der Logik

Logik kann grob in zwei Haupttypen unterteilt werden:

• Induktive Logik: Schlussfolgerungen werden aus spezifischen Beobachtungen oder Beispielen gezogen, um allgemeine Regeln abzuleiten. Das Fazit ist wahrscheinlich, aber nicht garantiert wahr.
  Beispiel: Es ist üblich, dass die Korinther ihre Spiele gewinnen. Wenn die Korinther spielen, werden sie gewinnen.
• Deduktive Logik: Schlussfolgerungen werden aus allgemeinen Prinzipien oder Prämissen gezogen, um spezifische Wahrheiten abzuleiten. Das Fazit ist garantiert wahr, wenn die Prämissen wahr sind.
  Beispiel: Alle Menschen sind sterblich. Dunga ist ein Mensch. Folglich ist Dunga sterblich.

Aussagen (Propositionen)

Logische Argumente bestehen aus Prämissen, die zu einem Fazit führen.

• Argument 1:
  Prämisse 1: Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar.
  Prämisse 2: Die Zahl 8 ist durch 2 teilbar.
  Fazit: Daher ist die Zahl Acht eine gerade Zahl.
• Argument 2:
  Prämisse 1: Jeder Student liebt Mathematik.
  Prämisse 2: Philipp ist ein Student.
  Fazit: Daher liebt Philipp Mathematik.
• Argument 3:
  Prämisse 1: Wenn es nicht regnet, werde ich Fußball spielen.
  Prämisse 2: Es regnete.
  Fazit: Also spiele ich Fußball.

Was ist eine Aussage (Proposition)?

Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist, aber nicht beides gleichzeitig.

Grundprinzipien der Logik

• Identität: Eine wahre Aussage ist wahr. Eine falsche Aussage ist falsch.
• Widerspruchsfreiheit: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
• Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Jede Aussage ist entweder wahr oder falsch.

Komplexere logische Formeln

Logische Formeln können komplexer sein. Betrachten wir die Aussagen:

• p: Es ist kalt.
• q: Es regnet.

Beispiele für komplexe Aussagen:

• ~p ^ ~q: Es ist nicht kalt und es regnet nicht.
• (p ^ ~q) → p: Wenn es kalt ist und nicht regnet, dann ist es kalt.
• p v ~q: Es ist kalt oder es regnet nicht.
• p → ~q: Wenn es kalt ist, dann regnet es nicht.
• p ↔ ~q: Es ist kalt genau dann, wenn es nicht regnet.

Beispiele für logische Ausdrücke

Betrachten wir die Aussagen:

• p: Gisele ist groß.
• q: Gisele ist elegant.

Hier sind Beispiele für logische Ausdrücke und ihre Entsprechungen:

• Gisele ist groß und elegant. (p ^ q)
• Gisele ist groß, aber nicht elegant. (p ^ ~q)
• Es ist nicht wahr, dass Gisele klein und glatt ist. (p ^ ~q) (Hinweis: Die logische Formel entspricht hier nicht direkt der deutschen Aussage, sondern ist eine Wiederholung des vorherigen Beispiels.)
• Es ist wahr, dass Gisele klein ist oder nicht elegant. (p ^ q) (Hinweis: Die logische Formel entspricht hier nicht direkt der deutschen Aussage, sondern ist eine Wiederholung des ersten Beispiels.)

Priorität logischer Operatoren

Die Rangfolge der logischen Operatoren bestimmt die Auswertungsreihenfolge in komplexen Formeln:

1. Negation (~)
2. Konjunktion (^) oder Disjunktion (v)
3. Implikation (→)
4. Bikonditional (↔)

Daher ist die Negation der stärkste Operator und das Bikonditional der schwächste.

Logische Operatoren und ihre deutsche Entsprechung

• (^): und, aber, auch, darüber hinaus
• (v): oder
• (→): wenn p dann q, p impliziert q, p nur wenn q, q folgt aus p
• (↔): p genau dann, wenn q; p ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für q
• (~): nicht p; es ist falsch, dass p; es ist nicht wahr, dass p

Logik-Probleme zum Üben

Problem 1: Sitzordnung

Fünf Mädchen sitzen in der ersten Reihe eines Klassenzimmers: Maria, Mariana, Marina, Marisa und Matilde. Marisa sitzt an einem Ende und Marina am anderen. Mariana sitzt neben Marina, und Matilde sitzt neben Marisa. Beantworten Sie nun die Fragen:

1. Wie viele Personen sitzen zwischen Marina und Marisa? 3
2. Wer sitzt in der Mitte? Maria
3. Wer sitzt zwischen Matilde und Mariana? Maria
4. Wer sitzt zwischen Marina und Maria? Mariana
5. Wie viele Personen sitzen zwischen Marisa und Mariana? Zwei (2)

Problem 2: Fehlende Zahl

Welche Zahl fehlt in der Tabelle unten?

Problem 3: Bibliotheksrätsel

Vier Schüler haben Bücher aus der Schulbibliothek ausgeliehen. Jeder liest eine andere Buchreihe, und ihre Namen sind: John, Philipp, Paula und Luiza. Sie lesen verschiedene literarische Genres: Thriller, Humor, Abenteuer und Romantik. Einer ist auf Seite 8, ein anderer auf Seite 34, der dritte auf Seite 67, und der letzte, der das Buch fast beendet hat, ist auf Seite 108. Finden Sie heraus: den Namen jedes Kindes, die Buchreihe, die Art des Buches, das es liest, und auf welcher Seite es sich befindet. Beachten Sie dazu die folgenden Hinweise:

• John ist auf Seite 67.
• Das Mädchen der 1. Reihe liest ein Humor-Buch und ist am Anfang des Buches.
• Philipp, der in der 4. Reihe ist, liest keine Thriller oder Romane.
• Paula ist in der 2. Reihe, aber sie ist auf Seite 108.
• Der Junge in der 3. Reihe liest einen Roman.

Lösung:

• John / 3. Reihe / Roman / Seite 67
• Luiza / 1. Reihe / Humor / Seite 08
• Philipp / 4. Reihe / Abenteuer / Seite 108
• Paula / 2. Reihe / Thriller / Seite 34

Problem 4: Partygäste

30 Personen besuchten eine Party und gaben insgesamt 30,00 $ für Tickets aus. Die Preise waren: Männer zahlen 2,00 $, Frauen zahlen 0,50 $, Kinder zahlen 0,10 $. Wie viele Männer, Frauen und Kinder besuchten die Party?

Lösung:

14 Männer, 1 Frau, 15 Kinder

Spezielle Aussagetypen

Tautologie und Kontradiktion

• Eine Tautologie ist eine Aussage, deren Wahrheitswerte in ihrer Wahrheitstabelle immer wahr sind.
• Ein Widerspruch ist eine Aussage, deren Wahrheitswerte in ihrer Wahrheitstabelle immer falsch sind.
• Eine Aussage, die weder eine Tautologie noch ein Widerspruch ist, nennt man Kontingenz.

Logische Äquivalenz

Logische Äquivalenz wird verwendet, um die Gleichwertigkeit von Aussagen oder Argumenten zu zeigen. Ähnlich wie arithmetische Eigenschaften von Zahlen sind solche Eigenschaften als „Algebren von Aussagen“ bekannt.

Komplexes Logik-Problem: Kinobesuch

Drei Freunde beschlossen, ins Kino zu gehen, um einen Film zu sehen. Die einzige Option war „Alles ist eine Frage der Logik“. Es entstand eine Diskussion, da einige behaupteten, den Film gesehen zu haben:

• Tuca: Wenn Joca den Film nicht gesehen hat, dann hat Kika ihn auch nicht gesehen.
• Joca: Tuca hat den Film nicht gesehen, aber Kika hat ihn gesehen.
• Kika: Ich habe den Film gesehen oder Joca hat ihn nicht gesehen.

Die Aussagen sind:

• p: Tuca hat den Film gesehen.
• q: Joca hat den Film gesehen.
• r: Kika hat den Film gesehen.

Beantworten Sie mit der Wahrheitstabelle die folgenden Fragen:

1. Wenn alle den Film gesehen haben, wer lügt dann?
2. Wenn jeder die Wahrheit sagt, wer hat den Film dann nicht gesehen?

Lösung der Aufgabe

Aussage von Tuca: (~q → ~r)

Aussage von Joca: (~p ^ r)

Aussage von Kika: (r v ~q)

Gesamtwahrheitstabelle

Antworten

1. Wenn alle den Film gesehen haben (p: W, q: W, r: W), dann ist dies die erste Zeile der Gesamtwahrheitstabelle. Dort sehen wir, dass Joca lügt (Joca: F).
2. Wenn jeder die Wahrheit sagt, dann befinden wir uns in der Zeile, in der alle Aussagen (Tuca, Joca, Kika) wahr sind. Dies ist die fünfte Zeile (F, W, W) der Gesamtwahrheitstabelle. In diesem Fall hat Tuca den Film nicht gesehen (p: F), während Joca (q: W) und Kika (r: W) ihn gesehen haben.