Grundlagen der Mathematik: Brüche, Dezimalzahlen und Potenzen

Bruch: Definition

Ein Bruch ist ein mathematischer Ausdruck der Form a / b, wobei a der Zähler und b der Nenner ist ($b \neq 0$).

Äquivalente Brüche

Zwei Brüche a / b und c / d sind äquivalent (gleichwertig), geschrieben als a / b = c / d, wenn die Bedingung $a \cdot d = b \cdot c$ erfüllt ist.

Dezimalzahlen

Dezimalzahlen drücken Mengen mit unvollständigen Einheiten aus. Eine Dezimalzahl besteht aus einem ganzzahligen Teil (links vom Komma) und einem Dezimalteil (rechts vom Komma).

Typen von Dezimalzahlen

• Endliche Dezimalzahl: Eine Dezimalzahl ist genau, wenn sie eine endliche Anzahl von Dezimalstellen besitzt.
• Periodische Dezimalzahl: Eine Dezimalzahl ist periodisch, wenn sich eine oder mehrere Dezimalstellen in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die sich wiederholende Zahl oder Gruppe von Zahlen wird als Periode bezeichnet.
  • Rein periodisch: Die Periode beginnt unmittelbar nach dem Komma.
  • Gemischt periodisch: Die Periode beginnt nicht unmittelbar nach dem Komma. Die nicht-repetierenden Dezimalstellen werden als Anteperiode bezeichnet.
• Nicht-periodische, unendliche Dezimalzahl: Eine Dezimalzahl ist nicht genau und nicht periodisch, wenn sie unendlich viele Dezimalstellen hat und sich keine davon in regelmäßigen Abständen wiederholt (z. B. Irrationale Zahlen).

Rationale Zahlen (Q)

Die Menge der rationalen Zahlen ($\mathbb{Q}$) ist die Menge aller Zahlen, die wir als Bruch $a/b$ darstellen können.

Potenzen und Exponenten

Potenzen mit positivem Exponenten

Eine Potenz ist eine Kurzform der Multiplikation, bei der alle Faktoren gleich sind (z. B. $a^n$).

Rechenregeln für Potenzen

• Potenz eines Produkts: Um ein Produkt zu potenzieren, werden die einzelnen Faktoren mit der Potenz erhöht: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
• Potenz eines Quotienten: Um einen Quotienten zu potenzieren:
  • Ist der Exponent positiv, potenzieren wir Zähler und Nenner mit diesem Exponenten: $(a/b)^n = a^n/b^n$.
  • Ist der Exponent negativ, kehren wir die Elemente um und potenzieren sie mit dem positiven Exponenten: $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$.
• Multiplikation gleicher Basen: Zum Multiplizieren von Potenzen mit der gleichen Basis wird die Basis beibehalten und die Exponenten werden addiert: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• Division gleicher Basen: Zum Dividieren von Potenzen mit der gleichen Basis wird die Basis beibehalten und die Exponenten werden subtrahiert: $a^m / a^n = a^{m-n}$.
• Potenzieren einer Potenz: Um eine Potenz mit einer weiteren Potenz zu erhöhen, wird die Basis beibehalten und die Exponenten werden multipliziert: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Wissenschaftliche Notation (Standardform)

Die wissenschaftliche Notation drückt Zahlen als Produkt aus einer Zahl $x$ ($1 \le x < 10$) multipliziert mit einer Potenz von 10 aus. Die Potenz von 10 wird als Größenordnung bezeichnet.

Potenzen der Basis 10

• $10^n$ (positiver Exponent): Ist gleich 1 gefolgt von $n$ Nullen.
• $10^{-n}$ (negativer Exponent): Ist gleich dem Kehrwert der Potenz mit positivem Exponenten ($1 / 10^n$).

Reelle Zahlen (R)

Das Symbol $\mathbb{R}$ repräsentiert die Menge der reellen Zahlen, die sich aus der Vereinigung der rationalen und der irrationalen Zahlen bildet.

Intervall

Ein Intervall ist eine Menge reeller Zahlen, die allen Punkten einer Strecke auf der reellen Achse entspricht.