Grundlagen mathematischer Funktionen

Grundlagen von Funktionen

Definition einer Funktion

Eine Beziehung zwischen zwei numerischen Variablen, die üblicherweise als X und Y bezeichnet werden. X ist die unabhängige Variable, Y ist die abhängige Variable. Die Funktion wird in der Regel durch y = f(x) bezeichnet, wobei jedem Wert von x ein Wert von y zugeordnet wird: x ↦ y = f(x).

Definitionsbereich (Domain)

Der Definitionsbereich einer Funktion f(x) ist die Menge aller Werte von x, für die die Funktion definiert ist.

Wertebereich (Bild/Range)

Der Wertebereich (Bild, Im(f)) ist die Menge der Werte, die die Funktion annimmt. Das heißt, die Menge der Werte y, für die es ein x gibt, sodass f(x) = y.

Darstellungsformen von Funktionen

Funktionen können auf verschiedene Weisen dargestellt werden:

• Grafisch (Graph der Funktion)
• Verbal (durch eine Beschreibung)
• Tabellarisch (durch eine Wertetabelle)
• Analytisch (durch eine Formel oder einen Ausdruck)

Bestimmung des Definitionsbereichs

Funktionen mit Nennern

Werte, die den Nenner eines Bruchs null machen, gehören nicht zum Definitionsbereich. Beispiel: Für f(x) = 1 / (x + 3) ist der Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen außer x = -3. Notation: D = ℝ \ {-3} oder D = (-∞, -3) ∪ (-3, +∞).

Funktionen mit Quadratwurzeln

Bei Quadratwurzeln darf der Ausdruck unter der Wurzel (Radikand) nicht negativ sein. Beispiel: Für f(x) = √(x - 2) sind Werte x < 2 nicht im Definitionsbereich. Der Definitionsbereich ist Dom(f) = [2, +∞).

Polynomfunktionen

Der Definitionsbereich von Polynomfunktionen (z.B. f(x) = x² + 3x - 2) ist die Menge aller reellen Zahlen (ℝ).

Stetigkeit

Eine Funktion ist stetig, wenn ihr Graph keine Unterbrechungen aufweist. Eine Funktion ist stetig auf einem Intervall (a, b), wenn sie an jeder Stelle innerhalb dieses Intervalls stetig ist.

Monotonie

Steigende Funktion

Eine Funktion f ist streng monoton steigend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂).

Fallende Funktion

Eine Funktion f ist streng monoton fallend, wenn für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂).

Relative Extrema

Eine Funktion hat ein relatives Maximum an einem Punkt, wenn der Funktionswert an diesem Punkt größer ist als in seiner unmittelbaren Umgebung. Die Funktion ist bis zum Maximum steigend und danach fallend.

Analog hat eine Funktion ein relatives Minimum an einem Punkt, wenn der Funktionswert dort kleiner ist als in der Umgebung. Die Funktion ist bis zum Minimum fallend und danach steigend.

Trend und Periodizität

Trend: Bei manchen Funktionen kann man, auch wenn man nur einen Teil kennt, ihr Verhalten weit außerhalb des untersuchten Bereichs vorhersagen, da sie einen klaren Trend aufweisen.

Periodizität: Eine Funktion ist periodisch, wenn sich ihr Verhalten in regelmäßigen Abständen wiederholt. Die Länge dieses Intervalls wird als Periode bezeichnet.