Grundlagen mathematischer Funktionen und Relationen

Definitionen und Grundbegriffe

• Beziehung: Eine Verbindung zwischen zwei Mengen. Elemente können unterschiedlich sein oder im selben Satz auftreten.
• Funktion (Rolle): Eine Beziehung mit zwei wesentlichen Merkmalen: Existenz (jedem Element der Definitionsmenge ist ein Element der Zielmenge zugeordnet) und Eindeutigkeit (jedem Element der Definitionsmenge ist genau ein Element der Zielmenge zugeordnet).
• Definitionsmenge (Menge der Abreise): Die erste an der Beziehung beteiligte Menge.
• Zielmenge (Menge der Ankunft): Die zweite Menge, die für die oben genannte Beziehung relevant ist.
• Definitionsbereich (Domain): Die Menge aller Werte der unabhängigen Variablen.
• Wertebereich (Bild): Die Menge aller Werte, die die abhängige Variable annimmt.
• Nullstellen (Raices): Die Werte des Definitionsbereichs, deren Bild gleich Null ist.

Intervalle und Funktionsverhalten

• Wachstumsintervall: Eine Teilmenge des Definitionsbereichs, in der höheren Werten der unabhängigen Variablen höhere Werte der abhängigen Variablen entsprechen. Falls x > a, dann gilt f(x) > f(a).
• Abnahmeintervall: Eine Teilmenge des Definitionsbereichs, in der die unabhängige Variable niedrigeren Werten der abhängigen Variablen entspricht. Falls x > a, dann gilt f(x) < f(a).

Extrema der Funktion

Absolutes Maximum und Minimum

Eine Funktion erreicht ein absolutes Maximum an einem Punkt a im Definitionsbereich, wenn für alle x ≠ a das Bild von x kleiner als das von a ist: f(x) < f(a). Ein absolutes Minimum wird erreicht, wenn für alle x ≠ a das Bild von x größer als das von a ist: f(x) > f(a).

Relatives Maximum und Minimum

Ein relatives Maximum wird erreicht, wenn es ein Intervall um a gibt, sodass für alle x in diesem Intervall (mit x ≠ a) das Bild von x kleiner als das von a ist: f(x) < f(a). Ein relatives Minimum liegt vor, wenn es ein Intervall um a gibt, in dem für alle x ≠ a das Bild größer als das von a ist: f(x) > f(a).

Weitere Funktionseigenschaften

• C⁺ (Positivitätsbereich): Teilmenge des Definitionsbereichs, deren Bilder positive Zahlen sind.
• C^- (Negativitätsbereich): Teilmenge des Definitionsbereichs, deren Bilder negative Zahlen sind.
• Gerade Funktion (Par): Eine Funktion ist gerade, wenn für alle Werte von x aus dem Definitionsbereich gilt: f(x) = f(-x).
• Ungerade Funktion (Odd): Eine Funktion ist ungerade, wenn für alle Werte von x gilt: f(-x) = -f(x).
• Periodische Funktionen: Eine Funktion ist periodisch, wenn es eine Zahl p (Periode) gibt, sodass f(x + p) = f(x).

Abbildungstypen

• Injektiv: Eine Funktion ist injektiv, wenn verschiedenen Werten des Definitionsbereichs verschiedene Bilder zugeordnet sind. Wenn x₁ ≠ x₂, dann f(x₁) ≠ f(x₂) bzw. f(x₁) = f(x₂) → x₁ = x₂.
• Surjektiv: Eine Funktion ist surjektiv, wenn alle Elemente der Zielmenge Bilder von Elementen des Definitionsbereichs sind. Der Wertebereich muss gleich der Zielmenge sein: y = f(x).

Lineare Funktionen und Geraden

Lineare Funktionen: f(x) = mx + b.

• Steigung (Pending): Die Variation der abhängigen Variablen pro Einheit der unabhängigen Variablen. Formel: m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁). Punktsteigungsform: y - y₁ = m(x - x₁).
• Parallele Geraden: Sie haben die gleiche Steigung.
• Senkrechte Geraden: Die Steigungen sind negativ reziprok (gegenüberliegend und umgekehrt).

Gleichungen und Systeme

• Diskriminante: Ist sie größer als 0, gibt es 2 Wurzeln. Ist sie gleich 0, gibt es 1 Wurzel. Ist sie kleiner als 0, gibt es keine Wurzeln.
• Stückweise definierte Funktionen: Eine Funktion, die durch verschiedene Gleichungen in unterschiedlichen Intervallen des Definitionsbereichs definiert ist.
• Betrag (Modul): Der absolute Wert ist der Abstand einer Zahl zu Null. Der Abstand zwischen zwei Zahlen a und b ist |a - b|.
• Gleichungssysteme: Eine Lösung ist ein Punkt (x, y), der alle Gleichungen erfüllt. Die Lösungsmenge ist die Menge aller Punkte, die Lösungen aller Gleichungen sind.

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktion: Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c. Ihr Graph ist eine Kurve, die als Parabel bezeichnet wird. Symmetrische Werte haben das gleiche Bild. Der Scheitelpunkt einer Parabel ist der Punkt, dessen x-Koordinate mittig zwischen jedem Paar symmetrischer Werte liegt.

Der Wert b zeigt die vertikale Verschiebung auf der y-Achse an, wenn b und c nicht Null sind; die Parabel erfährt eine Verschiebung des Knotens und ihrer Äste. Darstellungsformen:

• Faktorisierte Form: a(x - x₁)(x - x₂). Diese Form zeigt die Koordinaten der Wurzeln (Nullstellen).
• Scheitelpunktform (Kanonisch): a(x - x_v)² + y_v. Sie zeigt die Koordinaten des Scheitelpunkts.
• Polynomform (Allgemein): ax² + bx + c. Die x-Koordinate des Scheitelpunkts berechnet sich durch x_v = -b / (2a).