Grundlagen der Mechanik und Maschinenelemente

Grundlagen der Mechanik und Maschinen

Einfache Maschinen

In Mesopotamien kannten die alten Philosophen um 3500 v. Chr. bereits die fünf einfachen Maschinen: Keil, schiefe Ebene, Rad und Hebel. Alle komplexeren Maschinen wurden aus diesen oder einer Kombination aus ihnen aufgebaut. Das Gesetz der einfachen Maschinen besagt, dass die aufbringende Kraft multipliziert mit ihrem Hebelarm gleich der Widerstandskraft multipliziert mit ihrem Hebelarm ist.

Beanspruchungen von Maschinenelementen

Wenn eine Kraft auf ein Objekt wirkt, neigt es dazu, sich zu verformen. Die Verformung hängt von Betrag, Richtung und Angriffspunkt der Kraft ab. Die Elemente von Maschinen unterliegen verschiedenen Beanspruchungen:

• Zug (Verlängerung)
• Druck (Verkürzung)
• Scherung (parallel zur Oberfläche wirkende Kraft)
• Biegung (Verformung durch quer zur Achse wirkende Kräfte)
• Torsion (Verdrehung)
• Abscherung (Trennung durch parallel zur Oberfläche wirkende Kräfte)

Moment einer Kraft

Der Moment einer Kraft um einen Punkt ist das Produkt aus Kraft und dem senkrechten Abstand vom Punkt zur Wirkungslinie der Kraft. M = F × R. Der Moment einer Kraft bewirkt Drehung. Die Leistung (P) bei Rotation ist das Produkt aus Drehmoment (M) und Winkelgeschwindigkeit (ω). P = M × ω. Dabei ist P die Leistung (in W), M das Drehmoment (in Nm) und ω die Winkelgeschwindigkeit (in rad/s).

Klassifikation von Mechanismen

Hachette erstellte im Jahr 1811 eine funktionale Klassifikation aller bekannten Mechanismen, basierend auf ihrer Funktion innerhalb einer Maschine:

• Empfänger: Nehmen Bewegung vom Hauptantrieb auf.
• Übertrager (Kommunikatoren): Übertragen Bewegung.
• Wandler (Modifikatoren): Verändern die Art der Bewegung.
• Regler: Regulieren oder steuern die Bewegung.
• Gestelle (Ständer): Nehmen Elemente auf und stützen sie.
• Arbeitseinheiten (Betreiber): Erzeugen die endgültige Wirkung.

Maschinen: Definition und Typen

Eine Maschine ist eine Anordnung von Mechanismen zur Erzielung einer bestimmten Wirkung.

Typen:

1. Kraftmaschinen (Antriebsmaschinen): Erzeugen die notwendige Energie zur Bewegung.
   • Primärmotoren: Wandeln direkt eine Energieform in mechanische Arbeit um.
     • Muskelkraft (Tiere, Menschen): Genutzt z.B. für Transport.
     • Thermische Energie:
       • Externe Verbrennungsmotoren (z.B. Dampflokomotive): Dampf unter Druck bewegt Kolben, wandelt Wärme in mechanische Energie um.
       • Interne Verbrennungsmotoren (z.B. Otto-, Diesel-, Gasturbinen-, Strahltriebwerke): Verbrennung im Zylinder (z.B. 4-Takt-Motoren).
     • Elektrische Energie: Elektromotor, Elektromagnet.
2. Arbeitsmaschinen: Nutzen die Energie, um eine Wirkung zu erzielen.
   • Transportmaschinen (Förderer): z.B. Förderbänder.
   • Umformmaschinen (Modifizierer): z.B. Fräs- und Drehmaschinen.
   • Informationsmaschinen (andere Zweige): z.B. Taschenrechner, Computer.

Wellen, Kupplungen und Getriebe

Wellen und Achsen

Welle: Ein meist zylindrisches Element, auf dem verschiedene Komponenten montiert sind und das Kräfte und Momente (Torsion und Biegung) übertragen kann.

Achse: Ein meist zylindrisches Element, das rotierende Teile trägt (unterliegt Biegung, Scherung, Reibung), aber keine Leistung überträgt.

Wellenarten:

1. Feste Wellen: Drehen sich nicht, erlauben aber die Drehung der darauf gelagerten Teile.
2. Drehwellen: Drehen sich mit den darauf befestigten Teilen.

Querschnittsformen:

1. Vollwellen: Verformen sich unter Biegespannungen.
2. Hohlwellen: Halten Biegespannungen besser stand (bei gleichem Gewicht).

Kupplungen zwischen Wellen

Kupplungen verbinden Wellen, um Drehmoment zu übertragen.

1. Starre Kupplungen: Verbinden Wellen starr.

• Flanschkupplung: Zwei Flansche werden an den Enden der Wellen befestigt und miteinander verschraubt, um eine starre Verbindung herzustellen, die eine relative Bewegung verhindert.
• Konische Klemmkupplung: Zwei konische Teile werden gegeneinander gepresst, um die Wellenenden zu klemmen und so eine Drehmomentübertragung zu ermöglichen.

2. Bewegliche (Nachgiebige) Kupplungen: Erlauben einen gewissen Wellenversatz.

• Elastische Kupplungen: Bestehen oft aus Gummi oder Neopren, absorbieren kleine Drehungleichmäßigkeiten und erlauben einen geringen Wellenversatz (z.B. bis 15° Winkelversatz).
• Kardan- oder Kreuzgelenke: Übertragen Bewegung zwischen Wellen, die nicht fluchten (bis ca. 45° Winkel). An den Wellenenden sind Gabeln, die durch ein Kreuzstück mit Lagern verbunden sind. Da sie bei Winkelübertragung ungleichförmige Drehbewegungen erzeugen, werden oft zwei Gelenke auf derselben Welle eingesetzt, um dies auszugleichen.
• Gleichlaufgelenke (CV-Gelenke): Erzeugen keine Schwingungen. Werden vor allem im Automobilbau für den Antrieb der Räder verwendet.
• Oldham-Kupplung: Wird verwendet, um Bewegung zwischen parallelen, leicht versetzten Wellen zu übertragen. Sie besteht aus drei Scheiben.
• Schiebeverzahnung (Spline-Welle): Ermöglicht eine Längenänderung der Verbindung zwischen den Wellen.

Reibradgetriebe

Übertragung der Bewegung durch Reibung. Es ist eine Anpresskraft erforderlich, um ein Verrutschen der Räder zu verhindern. Das treibende Rad (Antriebsrad) ist oft das kleinere (Ritzel), seine Parameter werden oft mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Das getriebene Rad (Abtriebsrad) ist oft das größere, seine Parameter werden oft mit Großbuchstaben bezeichnet. Die übertragbare Umfangskraft (Fx) hängt von der Anpresskraft und dem Reibungskoeffizienten (?) ab. P: Übertragene Leistung (W), n: Drehzahl des Ritzels (U/min), r: Radius des Ritzels (m), ?: Reibungskoeffizient (0-1), Fx: Kraft (N).

Außenverzahnung (Außenräder)

Besteht aus zwei Rädern, die sich außen berühren. Drehen sich in entgegengesetzte Richtungen. Der Achsabstand ist E = R + r = (D + d) / 2. Übersetzungsverhältnis (i): Ist das Verhältnis der Drehzahl des getriebenen Rades (N) zur Drehzahl des treibenden Ritzels (n): i = N / n. i > 1 (N > n) - Übersetzung (Geschwindigkeitserhöhung), i < 1 (N < n) - Untersetzung (Geschwindigkeitsverringerung), i = 1 (n = N) - Gleichlauf. Die Umfangsgeschwindigkeit an der Berührungsstelle ist gleich: v = (2πn/60) * r = (2πN/60) * R. Daraus folgt das Übersetzungsverhältnis: i = N / n = r / R = d / D.

Innenverzahnung (Innenräder)

Bestehen aus zwei Rädern, wobei das kleinere Rad innen am größeren Rad anliegt. Drehen sich in die gleiche Richtung. Der Achsabstand ist E = R - r = (D - d) / 2. Übersetzungsverhältnis (i): Ist das Verhältnis der Drehzahl des getriebenen Rades (N) zur Drehzahl des treibenden Ritzels (n): i = N / n = r / R = d / D.

Kegelrad-Reibräder

Übertragen Bewegungen zwischen Wellen, deren Achsen sich schneiden. Sie sind wie Kegelstümpfe geformt. Das Übersetzungsverhältnis ist: i = N / n = r / R = d / D.

Riemengetriebe

Riemenscheibe: Gerilltes Rad zur Verwendung mit einem Riemen.

Riemen: Ist ein flexibles Band oder eine Schnur, die um die Riemenscheiben gelegt wird, um Drehmoment von einer Welle auf eine andere zu übertragen. Er nutzt Reibung, um die Bewegung zu übertragen. Riemengetriebe können größere Kräfte übertragen als Reibradgetriebe, da sie eine größere Kontaktfläche haben. Für optimale Leistung müssen die Riemen richtig gespannt sein, um die notwendige Anpresskraft zu gewährleisten. Sein Übersetzungsverhältnis ist: i = N / n = r / R = d / D.

Riemenarten

• Keilriemen (Trapezförmig): Meist aus Gummi, für hohe Geschwindigkeiten und industrielle Zwecke.
• Flachriemen (Flach oder rechteckig): Oft aus Leder, für größere Leistungen oder zur Übertragung von Bewegung zwischen nicht parallelen Achsen (gekreuzte Riemen).
• Rundriemen (Rund oder kreisförmig): Für kleine Kräfte (z.B. alte Nähmaschinen) oder zur Übertragung von Bewegung zwischen nicht parallelen Achsen.

Zahnradgetriebe

Werden verwendet, um große Kräfte und hohe Drehmomente zu übertragen. Bestehen aus mindestens zwei Zahnrädern. Das treibende Rad wird als Ritzel bezeichnet, das getriebene als Rad.

Zahnformen

• Geradverzahnung: Zähne parallel zur Achse. Laut, verursachen Vibrationen, aber günstig. Profil (Evolvente) sorgt für konstantes Übersetzungsverhältnis und gleichbleibende Kraftrichtung. Für moderate Leistungen und Drehzahlen.
• Schrägverzahnung: Zähne zur Achse geneigt. Leiser, weniger Vibrationen, aber teurer. Für höhere Leistungen und Drehzahlen. Erzeugt Axialkräfte.
• Pfeilverzahnung: Zähne bilden ein V. Kompensiert Axialkräfte durch entgegengesetzte Schrägen.

Parameter eines Zahnrads

• Teilkreisdurchmesser (d_p): Durchmesser des Kreises, der einem Reibrad mit gleichem Übersetzungsverhältnis entsprechen würde. Bei zwei Zahnrädern im Eingriff berühren sich die Teilkreise.
• Kopfkreisdurchmesser (d_a): Durchmesser des Kreises, der den äußeren Umfang der Zähne begrenzt.
• Fußkreisdurchmesser (d_f): Durchmesser des Kreises, der den inneren Umfang der Zähne begrenzt.
• Modul (m): Verhältnis von Teilkreisdurchmesser (d_p) zur Zähnezahl (Z). m = d_p / Z. Standardisiert (in mm). Zwei Zahnräder im Eingriff müssen das gleiche Modul haben.
• Zahnteilung (p): Bogenlänge auf dem Teilkreis zwischen zwei benachbarten Zähnen. p = π * m.
• Kopfhöhe (h_a): Abstand vom Teilkreis zum Kopfkreis. h_a = m.
• Fußhöhe (h_f): Abstand vom Teilkreis zum Fußkreis. h_f = 1,25 * m.
• Zahnhöhe (h): Abstand vom Fußkreis zum Kopfkreis. h = h_a + h_f = 2,25 * m.
• Zahnbreite (b): Breite des Zahnrads. Oft b ≈ 10 * m.
• Zahndicke (s): Dicke des Zahns auf dem Teilkreis. s = 19/40 * p.
• Zahnlücke (e): Breite der Lücke zwischen den Zähnen auf dem Teilkreis. e = 21/40 * p. (s + e = p)

Wirkungsgrad mechanischer Systeme

Wirkungsgrad von Maschinen und Mechanismen

Nicht die gesamte vom Motor übertragene Kraft und Energie erreicht die Abtriebswelle. Ein Teil geht durch Reibung, Gleiten und andere Faktoren verloren. Wenn die Welle mit einem Eingangsmoment (M_ein) rotiert, treten an den Lagern Reibungsverluste auf, die ein Reibungsmoment (M_reib) verursachen. Das nutzbare Moment (M_nutz) ist M_nutz = M_ein - M_reib. Der Wirkungsgrad (η) ist das Verhältnis der nutzbaren Leistung (P_nutz) zur Eingangsleistung (P_ein). P_nutz = M_nutz * ω, P_ein = M_ein * ω. Daher ist η = P_nutz / P_ein = M_nutz / M_ein = (M_ein - M_reib) / M_ein = 1 - M_reib / M_ein. Das Reibungsmoment ist M_reib = F_reib * R = ? * N * R. Dabei ist F_reib die Reibungskraft (N), N die Normalkraft (N), R der Radius (m) und ? der Reibungskoeffizient (0-1). Der Wirkungsgrad liegt zwischen 0 und 1 (oder 0% und 100%).

Die Evolventenform der Stirnradzähne bewirkt, dass die Kraftübertragung entlang der Eingriffslinie erfolgt, die im Eingriffspunkt senkrecht zur Zahnflanke steht. Diese Kraft (F) wirkt nicht tangential, sondern in einem Winkel (Eingriffswinkel, oft 20°) zur Tangente am Teilkreis. Die tangentiale Kraft (Fx), die das Drehmoment überträgt, ist Fx = F * cos(20°). Die radiale Kraft (Fy) ist Fy = F * sin(20°). Der Wirkungsgrad für ein Zahnradpaar liegt typischerweise bei ca. 94%.

Mechanische Bewegungswandler

Zahnstange-Ritzel

Wandelt Drehbewegung in geradlinige Bewegung um oder umgekehrt. Besteht aus einem Zahnrad (Ritzel) und einer geraden Zahnstange (als unendlicher Kreisbogen betrachtet).

• Wenn die Zahnstange fest ist, bewegt sich das Ritzel geradlinig (z.B. bei Drehmaschinen).
• Wenn das Ritzel rotiert, aber seine Position fixiert ist, bewegt sich die Zahnstange geradlinig (z.B. bei Bohrmaschinen, Lenkgetrieben im Auto, automatischen Garagentoren).

Spindel-Mutter

Wandelt Drehbewegung in geradlinige Bewegung um oder umgekehrt. Wenn die Spindel (Schraube) dreht und die Mutter festgehalten wird, bewegt sich die Mutter geradlinig. Man kann sich das Gewinde als eine schiefe Ebene vorstellen, die um einen Zylinder gewickelt ist.

Anwendungen: Heben von Lasten (z.B. Wagenheber), Spannen von Werkstücken (z.B. Schraubstock), präzise Positionierung (z.B. bei Messgeräten).

Das benötigte Drehmoment (M) zum Heben einer Last (Q) mit einer Spindelsteigung (p) (ohne Reibung) ist: M = Q * p / (2 * π). M: Drehmoment (Nm), p: Gewindesteigung (m), Q: Last (N).

Exzenter

Wandelt Drehbewegung in eine hin- und hergehende (oszillierende) Bewegung um. Besteht aus einer Scheibe oder einem Zylinder, der sich um eine Achse dreht, die nicht mit seiner geometrischen Mitte zusammenfällt. Der Abstand zwischen Drehachse und geometrischer Mitte ist die Exzentrizität. Erzeugt eine kontinuierliche Bewegung eines Stößels, die annähernd einer einfachen harmonischen Bewegung entspricht.

Nocken

Ein unregelmäßig geformtes Bauteil, das sich um eine Achse dreht und die Drehbewegung in eine bestimmte, oft komplexe, hin- und hergehende Bewegung eines Stößels (Tasters) umwandelt.

Kurbelgetriebe

Wandelt Drehbewegung in geradlinige Bewegung um oder umgekehrt. Besteht aus einer Kurbel (dreht sich), einer Pleuelstange (verbindet Kurbel und Schieber) und einem Schieber (bewegt sich geradlinig, z.B. ein Kolben). Wenn sich die Kurbel dreht, bewegt sich der Schieber (Kolben) hin und her. Wenn der Schieber (Kolben) bewegt wird, dreht sich die Kurbel.

Kurbel-Pleuel-Kolben-Mechanismus

Das treibende Element kann die Kurbelwelle oder der Kolben sein. Wird z.B. in Verbrennungsmotoren oder Kolbenpumpen verwendet.

Kurbel-Pleuel-Mechanismus im 4-Takt-Motor

Wird hauptsächlich in Verbrennungsmotoren verwendet. Der Zyklus besteht aus 4 Takten (Huben des Kolbens):

1. Ansaugtakt: Einlassventil (EV) öffnet. Kolben bewegt sich vom oberen Totpunkt (OT) zum unteren Totpunkt (UT). Gemisch wird angesaugt. Kurbelwelle dreht sich um 180°.
2. Verdichtungstakt: Einlass- und Auslassventil schließen. Kolben bewegt sich vom UT zum OT. Gemisch wird verdichtet. Kurbelwelle dreht sich um weitere 180°.
3. Arbeitstakt (Expansion): Bei OT zündet das Gemisch. Die Gase expandieren und drücken den Kolben nach UT. Kurbelwelle dreht sich um weitere 180°. Arbeit wird geleistet.
4. Ausstoßtakt: Auslassventil (AV) öffnet. Kolben bewegt sich vom UT zum OT und drückt die Abgase aus. Kurbelwelle dreht sich um weitere 180°.

Weitere wichtige Maschinenelemente

Sperrklinkengetriebe

Besteht aus einem gezahnten Rad (Sperrrad) und einer Sperrklinke. Die Klinke greift (oft durch Federkraft oder Eigengewicht) in die Zähne des Sperrrads und erlaubt die Drehung der Welle nur in eine Richtung, blockiert aber die Drehung in die entgegengesetzte Richtung.

Es gibt zwei Arten: Umkehrbar (die Sperrwirkung kann bei Bedarf aufgehoben oder die Sperrrichtung geändert werden) und Nicht umkehrbar (blockiert immer in derselben Richtung).

Schwungrad

Ein schweres Rad, das auf einer Welle montiert ist, um kinetische Energie zu speichern und Drehzahlspitzen auszugleichen oder gleichmäßige Rotation zu gewährleisten.

Freilauf

Ein Mechanismus, der die Drehung einer Welle in eine Richtung ermöglicht, aber in die entgegengesetzte Richtung blockiert. Er besteht oft aus zwei Ringen mit Rollen oder Kugeln und Federn dazwischen. Wenn das treibende Element schneller dreht als das getriebene, verriegeln die Rollen/Kugeln und übertragen das Drehmoment. Wenn das getriebene Element schneller dreht, lösen sich die Rollen/Kugeln und die Verbindung ist frei. Anwendungen: Fahrrad-Hinterradnabe, Anlasser im Auto.