Grundlagen reeller Funktionen

Definition und Darstellung

Eine reelle Funktion ordnet jedem Element einer Menge von reellen Zahlen genau ein Element einer anderen Menge von reellen Zahlen zu. Funktionen können mittels Aussagen, Formeln, Tabellen und Grafiken definiert werden.

Der Definitionsbereich einer Funktion f ist die Menge der Werte, die die unabhängige Variable annehmen kann. Der Wertebereich ist die Menge der Werte, die die abhängige Variable annimmt.

Änderungsraten

Die Differenz einer Funktion f im Intervall [a, b] ist die Änderung des Funktionswertes von f(a) zu f(b).

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a, b] ist das Verhältnis der Änderung der Funktion zur Länge des Intervalls.

Monotonie: Steigen und Fallen

Eine Funktion f steigt in einem Intervall, wenn für x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂).

Sie nimmt ab, wenn für x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂).

Extrema: Maxima und Minima

Ein lokales Maximum liegt bei x = a vor, wenn f(a) größer oder gleich dem Wert von f(x) in jeder anderen Umgebung des Punktes ist.

Ein lokales Minimum liegt bei x = a vor, wenn f(a) kleiner oder gleich dem Wert von f(x) in jeder anderen Umgebung des Punktes ist.

Ein absolutes Maximum liegt bei x = a vor, wenn f(a) größer oder gleich dem Wert von f(x) an jedem anderen Punkt der Domäne ist.

Ein absolutes Minimum liegt bei x = a vor, wenn f(a) kleiner oder gleich dem Wert von f(x) an jedem anderen Punkt der Domäne ist.

Grenzwerte von Funktionen

Der Grenzwert einer Funktion f(x) für x, das sich einem Punkt a nähert, existiert, wenn die Werte von f(x) sich einem bestimmten Wert nähern, während x sich von links oder von rechts dem Punkt a annähert.

Eine Funktion f(x) hat einen Grenzwert, wenn x sich a nähert, falls ihre einseitigen Grenzwerte übereinstimmen.

Stetigkeit von Funktionen

Eine Funktion ist stetig an der Stelle x = a, wenn der Grenzwert der Funktion für x, das sich a nähert, existiert, der Funktionswert an der Stelle a existiert und beide Werte übereinstimmen.

Wenn eine Funktion an der Stelle x = a nicht stetig ist, spricht man von einer Diskontinuität bei x = a.

Eine Funktion ist in einem Intervall (a, b) stetig, wenn sie an allen Punkten dieses Intervalls stetig ist.

Symmetrie und Periodizität

Eine Funktion f ist gerade oder symmetrisch bezüglich der y-Achse, wenn f(x) = f(-x) für alle x im Definitionsbereich gilt.

Eine Funktion f ist ungerade oder symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs, wenn f(x) = -f(-x) für alle x im Definitionsbereich gilt.

Eine Funktion ist periodisch, wenn sich ihre Werte in festen Abständen T auf der Abszissenachse wiederholen.