Grundlagen der Signalverarbeitung

Signal

Ein Signal kann als charakteristische Information über ein beliebiges physikalisches Ereignis definiert werden, das eingetreten ist oder eintritt. Dazu gehören elektrische, visuelle, mechanische, elektromagnetische oder auch analoge und diskrete Signale, neben anderen Klassifizierungen, die je nach Fachrichtung zugewiesen werden. Die Bedeutung eines Signals liegt darin, dass es wertvolle Informationen über ein unsicheres Ereignis liefern kann, wodurch Vorhersagen und Kontrollen ermöglicht werden.

System

Ein System ist eine Reihe von miteinander verbundenen Elementen, deren Interaktion untereinander eine bestimmte Rolle spielt.

Prozess

Ein Prozess ist eine Reihe von geordneten oder fortlaufenden Operationen oder Ereignissen, die das Ziel haben, etwas zu formen, anzupassen, zu verändern oder zu transformieren. Die Interpretation hängt vom Anwendungsbereich ab, wie z. B. der evolutionäre Prozess, der thermodynamische Prozess, ein chemischer Prozess oder ein mechanischer Prozess.

Wechselwirkungen

Die oben definierten Begriffe sind eng miteinander verbunden. Ein System stellt die kohärente physische Umgebung dar, in der ein Prozess abläuft. Es empfängt Signale aus der Umgebung oder gibt Signale ab, um eine bestimmte Aufgabe zu erfüllen oder ein gewünschtes Endprodukt zu liefern.

Signale

Merkmale eines Signals

• Amplitude: Definiert als der maximale Wert, den eine Welle oder ein Signal im Verhältnis zu einer Referenzgröße über einen bestimmten Zeitraum erreicht.
• Frequenz: Gibt die Anzahl der Wiederholungen eines periodischen Phänomens pro Zeiteinheit an. Eine Möglichkeit, die Frequenz (f) eines Signals zu berechnen, ist die Messung der Zeit (T), die für eine Wiederholung benötigt wird (Periode). Die Frequenz ist der Kehrwert der Periode: f = 1/T.
• Periode (T): Die Zeitdauer, die ein Signal benötigt, um einen vollständigen Zyklus zu durchlaufen und zum Ausgangszustand zurückzukehren. Sie ist der Kehrwert der Frequenz: T = 1/f.
• Phase: Der Phasenwinkel beschreibt die zeitliche Verschiebung einer Schwingung relativ zu einem Referenzpunkt, oft ausgedrückt als Winkel (z. B. bei einer Sinuswelle).
• Wellenform: Die grafische Darstellung eines Signals über die Zeit, die seine Form zeigt.
• Wellenlänge (λ): Der räumliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Punkten gleicher Phase einer Welle, z. B. zwischen zwei Wellenbergen. Sie ist umgekehrt proportional zur Frequenz (bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit). Der griechische Buchstabe Lambda (λ) wird üblicherweise zur Darstellung verwendet.

Variablenbezeichnungen

• A: Amplitude
• T: Periode (Zeit)
• λ: Wellenlänge
• f: Frequenz (Kehrwert der Periode)

Eigenschaften und Fourier-Transformation

Durch die Transformation eines Signals in eine andere Domäne (z. B. vom Zeitbereich in den Frequenzbereich) können zusätzliche Informationen gewonnen oder die Analyse erleichtert werden. Informationen, die im ursprünglichen Signal nicht offensichtlich sind, können im transformierten Signal sichtbar werden.

Die Fourier-Transformation beispielsweise ermöglicht es, Informationen über die Frequenzverteilung eines Signals zu erhalten. Sie informiert über die Amplituden und Phasen der einzelnen Frequenzkomponenten, wobei jedoch die explizite Zeitinformation verloren geht.

Die Kosinus-Transformation (ein verwandtes Verfahren) liefert Informationen über die Amplituden der Frequenzkomponenten.

Abtastung (Sampling)

Erklärung der Abtastung

Abtastung (Sampling) ist ein Prozess, bei dem ein kontinuierliches Signal zu diskreten Zeitpunkten gemessen wird, um eine Folge von Abtastwerten (Samples) zu erzeugen. Dabei geht die Information zwischen den Abtastzeitpunkten verloren. Die Abtastpunkte haben einen endlichen zeitlichen Abstand, der konstant oder variabel sein kann (meist konstant).

Der Abtastprozess stellt die Verbindung zwischen dem analogen Eingangssignal und dem digitalen, abgetasteten Signal her. Ein grundlegender Parameter ist die Abtastfrequenz (f_m). Sie definiert die minimale Frequenz, mit der ein Signal abgetastet werden muss, um seine wesentlichen Informationen zu erhalten.

Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem besagt, dass ein bandbegrenztes Signal mit einer maximalen Frequenz (Bandbreite W) mit einer Frequenz von mindestens f_m = 2W abgetastet werden muss, um es ohne Informationsverlust rekonstruieren zu können. Dies unterstreicht die Bedeutung der korrekten Wahl der Abtastfrequenz.

Zu berücksichtigende Aspekte bei der Abtastung

Bei der Abtastung eines Signals besteht die Gefahr, dass die Abtastfrequenz niedriger ist als gemäß dem Abtasttheorem erforderlich (d. h. kleiner als die doppelte höchste Signalfrequenz). Dies führt zum sogenannten Aliasing-Effekt: Höhere Frequenzen im Originalsignal erscheinen im abgetasteten Signal als niedrigere Frequenzen („Alias-Frequenzen“), was zu Fehlinterpretationen und Störungen führen kann.

Beispiele (Beschreibung):

• Eine korrekte Abtastung erhält die wesentlichen Informationen des ursprünglichen Signals mit minimalem Verlust.
• Eine zu niedrige Abtastfrequenz führt dazu, dass die Form und Frequenzinformation des ursprünglichen Signals verloren gehen. Wenn die Signalfrequenz viel höher ist als die Abtastfrequenz, gehen Form, Frequenz und Phaseninformationen des ursprünglichen (kontinuierlichen) Signals verloren.

Die Hauptprobleme bei der Abtastung hängen mit dem Verlust von Signalinformationen (Amplitude, Frequenz, Phase) zusammen. Daher ist eine sorgfältige Wahl der Abtastfrequenz entscheidend, um diese Probleme zu vermeiden.

Kontinuierliche vs. Diskrete Signale

Der Hauptunterschied liegt in ihrer Definition bezüglich der Zeitachse:

• Ein kontinuierliches Signal ist für jeden Zeitpunkt innerhalb eines bestimmten Intervalls definiert. Es verläuft „glatt“ ohne Sprünge. Beispiele sind die Sinusfunktion, die Exponentialfunktion oder eine konstante Funktion über ein Zeitintervall. In der Natur finden sich Beispiele wie Strom, Spannung, Schall oder Licht (als physikalische Phänomene).
• Ein diskretes Signal ist nur zu bestimmten, einzelnen Zeitpunkten definiert. Zwischen diesen Zeitpunkten ist der Signalwert nicht definiert. Es ist durch eine Folge von Werten gekennzeichnet. Diskrete Signale entstehen oft durch die Abtastung kontinuierlicher Signale.

Grafische Darstellung (Beschreibung): Ein kontinuierliches Signal wird als durchgehende Linie gezeichnet, während ein diskretes Signal als eine Folge von Punkten oder Stäben dargestellt wird.

Zweck von Transformationen

In der mathematischen Analyse werden Transformationen verwendet, um die Domäne zu wechseln, in der eine Funktion analysiert wird. Beispielsweise kann eine Funktion aus dem Zeitbereich in den Frequenzbereich (oder eine komplexe Frequenzebene) überführt werden. Dies bietet mehrere Vorteile, sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Transformationen:

• Vereinfachung linearer Operationen.
• Vermeidung der direkten Arbeit mit komplexen Differentialgleichungen.
• Gewinnung zusätzlicher Informationen, wie z. B. das Frequenzverhalten einer Funktion durch die Fourier-Transformation, was in der Elektronik und digitalen Signalverarbeitung sehr nützlich ist.

Fourier-Transformation

Die Fourier-Transformation ist ein mathematisches Werkzeug, das eine Funktion (oft eine Zeitfunktion) in ihre Frequenzkomponenten zerlegt. Sie ist ein Spezialfall der Laplace-Transformation.

Beide Transformationen können eine lineare Integro-Differentialgleichung n-ter Ordnung in eine algebraische Polynomgleichung n-ten Grades umwandeln. Dies vereinfacht die Lösung solcher Gleichungen erheblich.

Anwendungen:

• Lösung von Problemen in der Elektrotechnik, Elektronik, Regelungstechnik und allgemein bei allen Problemen, die als lineare Systeme modelliert werden können.
• Analyse des Frequenzverhaltens von Signalen und Systemen (Übergang vom Zeitbereich in den Frequenzbereich).

Bei der Fourier-Transformation wird in eine reelle Frequenzdomäne transformiert.

Frequenzspektrum

Jedes periodische Signal kann als eine Summe von Sinus- und Kosinuswellen (oder komplexen Exponentialfunktionen) dargestellt werden, deren Amplituden, Frequenzen und Phasen durch die Fourier-Analyse bestimmt werden. Diese Zerlegung in Frequenzkomponenten (Grundschwingung und Obertöne) wird als Frequenzspektrum des Signals bezeichnet.

Das Spektrum wird oft grafisch dargestellt, wobei die Frequenzen auf der horizontalen Achse und die zugehörigen Amplituden (und manchmal Phasen) auf der vertikalen Achse aufgetragen werden.

Erzeugung des Frequenzspektrums

Das Frequenzspektrum wird mathematisch mithilfe der Fourier-Transformation (für nicht-periodische Signale oder über ein Zeitintervall) oder der Fourier-Reihenentwicklung (für periodische Signale) berechnet.

Die Analyse kann für kurze oder lange Zeitintervalle durchgeführt werden. Die Fourier-Transformation einer Funktion liefert nicht nur die spektrale Zerlegung, sondern ermöglicht auch die Rekonstruktion (Synthese) der ursprünglichen Funktion aus ihrem Spektrum mittels der inversen Fourier-Transformation. Dazu enthält die Transformation Informationen über die Intensität (Amplitude) und die Phase jeder Frequenzkomponente. Diese Information kann als zweidimensionaler Vektor oder als komplexe Zahl dargestellt werden.