Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stochastik

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe und Definitionen

• Zufallsexperiment: Ein Experiment, dessen Ausgang vom Zufall abhängt.
• Zufälliges Ereignis: Ein Ereignis, das je nach Möglichkeit eintritt oder nicht eintritt.
• Ergebnismenge (E): Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines zufälligen Experiments.
• Ereignis: Jede Teilmenge von E oder einzelne Elementarereignisse. Ereignisse können auch leer sein (unmögliches Ereignis) oder dem Ereignis E (sicheres Ereignis) entsprechen.

Mengenoperationen und Ereignisse

• Vereinigung (A ∪ B): Ein Ereignis, das eintritt, wenn mindestens einer der beiden Bestandteile (A oder B) eintritt.
• Schnittmenge (A ∩ B): Ein Ereignis, das aus allen Elementen besteht, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
• Differenz (A \ B): Ein Ereignis, das aus allen Elementen besteht, die in A, aber nicht in B enthalten sind.
• Komplementärereignis (A'): Das Ereignis (A' = E \ A) wird als Gegenereignis oder ergänzendes Ereignis bezeichnet.
• Einander ausschließende Ereignisse: Zwei Ereignisse sind unvereinbar (inkonsistent), wenn sie kein gemeinsames Element besitzen (A ∩ B = leer).

Häufigkeiten und Axiome der Stochastik

• Absolute Häufigkeit H(S): Gibt an, wie oft das Ereignis S vorkommt.
• Relative Häufigkeit h(S): Das Verhältnis, wie oft das Ereignis S im Vergleich zur Gesamtzahl N vorkommt (h(S) = H(S) / N).

Axiome von Kolmogorow

• Axiom 1: Für jedes Ereignis S gilt: P(S) ≥ 0.
• Axiom 2: Wenn zwei Ereignisse unvereinbar sind, entspricht die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung der Summe ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten.
• Axiom 3: Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt 1: P(E) = 1.

Wichtige Sätze der Wahrscheinlichkeit

• T.1: P(A') = 1 - P(A)
• T.2: P(∅) = 0
• T.3: Wenn A in B enthalten ist, gilt: P(B) = P(A) + P(B \ A)
• T.4: Wenn A ⊆ B, dann gilt: P(A) ≤ P(B)
• T.5: P(A ∪ B ∪ C ...) = P(A) + P(B) + P(C) + ... (für disjunkte Ereignisse)
• T.6: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• T.7: Wenn E endlich ist, gilt: P(S) = P(x₁) + P(x₂) + P(x₃) + ...

Laplace-Regel und bedingte Wahrscheinlichkeit

Gesetz von Laplace: P(S) = Anzahl der günstigen Fälle für S / Anzahl der möglichen Fälle.

Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A | C) = P(A ∩ C) / P(C). Sie misst den Anteil der Zeit, in der A eintritt, unter der Bedingung, dass C bereits eingetreten ist: P(A ∩ C) = P(C) * P(A | C).

Unabhängigkeit und zusammengesetzte Experimente

Unabhängige Ereignisse: P(A | C) = P(A) und P(C | A) = P(C). Wenn zwei Ereignisse unabhängig sind, entspricht die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge dem Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten: P(A ∩ C) = P(A) * P(C).

Zusammengesetzte Experimente: Diese lassen sich in zwei oder mehr Stufen unterteilen. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ereignisse wird durch die Multiplikation ihrer Komponenten deutlich vereinfacht. Zwei Stufen sind unabhängig, wenn sich die Ergebnisse nicht gegenseitig beeinflussen, andernfalls sind sie abhängig.

• Zwei oder mehr Prüfungen sind unabhängig, wenn das Ergebnis der einzelnen Wahrscheinlichkeiten keinen Einfluss auf die Ergebnisse anderer Stufen hat.
• Zwei Erfahrungen sind abhängig, wenn das erste Resultat die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse der zweiten Stufe beeinflusst.

Totale Wahrscheinlichkeit und Änderungsrate

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: P(S) = P(A₁) * P(S | A₁) + P(A₂) * P(S | A₂) + ... + P(Aₙ) * P(S | Aₙ).

Mittlere Änderungsrate (TVM):

• TVM [a, b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)
• TVM [a, a + h] = (f(a + h) - f(a)) / h