Häufigkeitsverteilung: Grundlagen, Klassen und grafische Darstellung
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Häufigkeitsverteilung: Grundlagen und Methoden
1. Lose Daten
Lose Daten sind Daten, die noch nicht numerisch organisiert wurden. Sie werden beispielsweise alphabetisch geordnet gesammelt, wie die Höhe von Männchen und Weibchen eines Bergrückens.
2. Ordination (Sortierung)
Die Ordination ist die Anordnung einer Reihe von numerischen Daten in auf- oder absteigender Reihenfolge. Der Unterschied zwischen der größten und der kleinsten Zahl wird als Datenbereich bezeichnet.
Beispiel zur Datenbereichsberechnung
Datenmanagement Bereich:
- 10 bis 1
- 7,6
- 4,9
- 8,10
Auswahl der Daten: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10
3. Häufigkeitsverteilung
Wenn große Datenmengen gesammelt werden, ist es sinnvoll, diese in Klassen oder Gruppen zu verteilen und die Anzahl der Elemente, die zu jeder Kategorie gehören, zu zählen. Diese Anzahl wird oft als Klasse bezeichnet.
Eine tabellarische Verteilung der Daten nach ihrer Art oder Kategorie mit den entsprechenden Klassenhäufigkeiten wird als Häufigkeitsverteilung oder Frequenztabelle bezeichnet.
Beispiel einer Häufigkeitsverteilungstabelle
| Kategorie | Frequenz (ni) | Bereich |
|---|---|---|
| 1-5 | 5 | R = 14 (15-1) |
| 6-10 | 8 | |
| 11-15 | 3 |
Zweites Beispiel: Altersverteilung
| Kategorie oder Klasse | Frequenz (ni) | Relative Frequenz (fi) | Kumulierte Frequenz (Fi) |
|---|---|---|---|
| 20-30 | 17 | 68% (17/25) | 68% |
| 31-40 | 5 | 20% (5/25) | 88% |
| 41-50 | 2 | 8% (2/25) | 96% |
| 51-60 | 1 | 4% (1/25) | 100% |
| Total | 25 | 100% |
Diese Tabelle zeigt eine Häufigkeitsverteilung der Alter von 25 Studenten des AIEP BUSINESS INSTITUTE. Die erste Klasse umfasst die Altersgruppe zwischen 20 und 30 (Bereich 20-30). Da 17 Schüler in dieser Klasse sind, beträgt die Klassenhäufigkeit 17.
Daten so zu organisieren und in Klassen oder Gruppen zusammenzufassen, wird als gepoolte Daten bezeichnet.
Obwohl die Gruppierung von Daten ursprüngliche Details entfernt, ist sie sehr vorteilhaft, da sie umfassende und klare Verhältnisse bietet.
4. Klassenintervall und Klassengrenzen
Das Symbol, das eine Klasse definiert, wie z.B. 20-30, wird als Klassenintervall bezeichnet. Die Zahlen 20 und 30 werden als Klassengrenzen betrachtet. Die kleinere Zahl ist die untere Klassengrenze, während die größere Zahl als obere Klassengrenze bekannt ist.
Ein Klassenintervall, dessen Grenzen theoretisch offen sind (z.B. bei Angabe wie „61 und älter“), wird als offenes Klassenintervall bezeichnet. Beispiel: O 61 - ?
5. Wahre Klassengrenzen
Wenn Messungen präzise durchgeführt werden, umfassen theoretisch die Klasse mit dem Intervall 60-62 alle Maße von 59,5 bis 62,5. Diese Zahlen werden als wahre Klassengrenzen angegeben. Die obere Zahl ist die obere wahre Grenze und die andere die untere wahre Grenze.
6. Klassenbreite und Klassenbereich
Die Klassenbreite (bezeichnet mit „C“) eines Klassenintervalls ist der Unterschied zwischen den oberen und unteren wahren Klassengrenzen.
$$C = \text{obere Grenze} - \text{untere Grenze}$$
Beispiel für das Intervall 60-62 (wahre Grenzen 59,5 und 62,5):
Obere Grenze: 62,5
Untere Grenze: 59,5
$$C = 62,5 - 59,5$$
$$C = 3$$
7. Klassenmittel oder Klassenmitte
Die Klassenmitte ist der Mittelpunkt der Klasse und wird durch Mittelung der unteren und oberen Klassengrenze erhalten.
$$X = \frac{\text{untere Grenze} + \text{obere Grenze}}{2}$$
$$X = \frac{60 + 62}{2} = 61$$
8. Histogramm und Frequenzpolygon
Histogramme und Frequenzpolygone sind zwei grafische Darstellungen von Häufigkeitsverteilungen.
8.1. Histogramm
Das Histogramm besteht aus einer Reihe von Rechtecken, deren:
- Basen auf der horizontalen Achse die Klassenmittelpunkte markieren und deren Länge gleich der Klassenbreite ist.
- Flächen proportional zur Klassenhäufigkeit sind.
Wenn alle Klassenbreiten gleich sind, ist die Höhe der Rechtecke proportional zur Klassenhäufigkeit. Es ist üblich, die Höhe numerisch gleich der Frequenz zu setzen. Wenn die Klassenintervalle nicht gleich groß sind, muss die Höhe entsprechend angepasst werden.
8.2. Frequenzpolygon
Das Frequenzpolygon ist ein Liniendiagramm der Klassenhäufigkeit. Es wird gezeichnet, indem die Mittelpunkte der Oberseiten der Rechtecke des Histogramms verbunden werden.
Zusätzliche Kennzahlen
- ni = Frequenz (absolute Häufigkeit).
- Ni = Kumulierte Häufigkeit: z.B. $8 + 10 = 18$; $18 + 16 = 34$.
- fi = Relative Frequenz ($\frac{n_i}{N}$): z.B. $\frac{8}{65} \approx 0,12$; $\frac{10}{65} \approx 0,15$.
- Fi = Kumulierte relative Frequenz: z.B. $0,12 + 0,15 = 0,27$; $0,27 + 0,25 = 0,52$.
- fi x 100% (Prozentuale Frequenz): z.B. $0,12 \times 100 = 12\%$; $0,15 \times 100 = 15\%$.
- Fi x 100% (Kumulierte prozentuale Frequenz): z.B. $0,12 \times 100 = 12\%$; $0,27 \times 100 = 27\%$.