Kartesische Koordinaten: Punkte und Geraden in der Ebene

Ansteuern einer bestimmten Stelle auf der kartesischen Ebene

Auf einer Ebene werden zwei senkrechte Linien, die Koordinatenachsen, durch Konvention so gezeichnet, dass eine horizontal und eine vertikale Achse entsteht. Jeder Punkt der Ebene wird eindeutig durch die Abstände dieses Punktes zu den beiden Achsen bestimmt. Dieses Paar von Zahlen, die Koordinaten, wird durch ein geordnetes Paar (x, y) dargestellt. Dabei gibt x den Abstand des Punktes zur vertikalen Achse an und y den Abstand zur horizontalen Achse.

Bei der x-Koordinate bedeutet ein positives Vorzeichen (häufig weggelassen), dass sich der Punkt rechts der vertikalen Achse befindet; ein negatives Vorzeichen zeigt an, dass er links davon liegt. Bei der y-Koordinate bedeutet ein positives Vorzeichen, dass sich der Punkt oberhalb der horizontalen Achse befindet; ein negatives Vorzeichen zeigt an, dass er unterhalb liegt. Die Koordinate x wird auch Abszisse genannt, die Koordinate y heißt Ordinate. Das geordnete Paar (x, y) bezeichnet somit den Punkt.

Punkte der x-Achse haben die Form (x, 0), da ihre Ordinate gleich 0 ist. Punkte der y-Achse haben die Form (0, y), weil dort die Abszisse gleich 0 ist.

Der Punkt, an dem sich die beiden Achsen kreuzen, hat zu beiden Achsen den Abstand 0; seine Abszisse und Ordinate sind also 0. Dieser Punkt (0, 0) heißt Ursprung des Koordinatensystems.

Geradengleichungen in der Ebene

Eine Gerade in der Ebene lässt sich durch eine lineare Funktion der Form darstellen:

Als allgemeiner Ausdruck ist y = mx + b gültig für alle nicht-vertikalen Geraden. Wir unterscheiden jedoch zwei Fälle:

• Nicht-vertikale Geraden: Diese schneiden in der Regel beide Achsen und lassen sich durch y = mx + b beschreiben, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt (Ordinatenabschnitt) ist.
• Vertikale Geraden: Wenn eine Gerade die y-Achse nicht schneidet, ist sie parallel zur y-Achse; solche Geraden haben die Form x = c (konstante Abszisse) und können nicht durch eine Funktion der Form y = mx + b beschrieben werden.