Kinematik Formelsammlung: Bewegungsgleichungen & Konzepte

Ortsvektor und Polarkoordinaten

Der Ortsvektor r kann in kartesischen Koordinaten als r = xi + yj dargestellt werden.

In Polarkoordinaten gelten folgende Beziehungen:

• x = r ⋅ cos(θ)
• y = r ⋅ sin(θ)
• r = √(x² + y²)
• tan(θ) = y / x

Verschiebung

Die finale Verschiebung Δr ist definiert als die Differenz zwischen dem End- und Anfangsortsvektor:

• Δr = r_Ende - r_Anfang

Geschwindigkeit

• Durchschnittsgeschwindigkeit (v_durchschnitt): v_durchschnitt = Δr / Δt
• Momentangeschwindigkeit (v): v = dr / dt

Beschleunigung

• Durchschnittliche Beschleunigung (a_durchschnitt): a_durchschnitt = Δv / Δt
• Momentane Beschleunigung (a): a = dv / dt

Gleichförmige geradlinige Bewegung (MRU)

Bei der gleichförmigen geradlinigen Bewegung (MRU) ist die Geschwindigkeit konstant.

• Geschwindigkeit: v = Δx / Δt
• Position: x = x₀ + vt

Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

Für die gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung (MRUA) gelten folgende Gleichungen:

• Durchschnittsgeschwindigkeit: v_durchschnitt = (v₀ + v) / 2
• Geschwindigkeit: v = v₀ + at
• Position: x = x₀ + v₀t + ½ at²
• Geschwindigkeit-Position-Beziehung: v² = v₀² + 2aΔx

Freier Fall und vertikaler Wurf

Freier Fall (Start aus der Ruhe, nach unten)

Wenn ein Körper aus der Ruhe fällt (positive y-Achse nach unten):

• Geschwindigkeit: v = gt
• Position (Höhe): y = ½ gt²

Vertikaler Wurf nach oben

Wenn ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ vertikal nach oben geworfen wird (positive y-Achse nach oben, g wirkt nach unten):

• Geschwindigkeit: v = v₀ - gt
• Position (Höhe): y = y₀ + v₀t - ½ gt²

Spezielle Punkte beim vertikalen Wurf nach oben:

• Maximale Höhe: Bei der maximalen Höhe ist die vertikale Geschwindigkeit des Körpers Null (v_y = 0).
  • Zeit bis zur maximalen Höhe: t_max = v₀ / g
  • Maximale Höhe (vom Startpunkt): h_max = v₀² / (2g)
• Flugzeit: Die Flugzeit bis zum Erreichen des Startniveaus (y = y₀) beträgt:
  • Flugzeit: t_Flug = 2v₀ / g

Horizontaler Wurf

Beim horizontalen Wurf wird ein Körper mit einer horizontalen Anfangsgeschwindigkeit v₀ geworfen und fällt gleichzeitig unter dem Einfluss der Schwerkraft.

• Horizontale Komponente (MRU):
  • Position: x = v₀t
  • Geschwindigkeit: v_x = v₀ (konstant)
• Vertikale Komponente (Freier Fall):
  • Position: y = y₀ - ½ gt²
  • Geschwindigkeit: v_y = -gt
• Ortsvektor: r(t) = (v₀t)i + (y₀ - ½ gt²)j
• Geschwindigkeitsvektor: v(t) = v₀i - gtj
• Gesamtgeschwindigkeit: v = √(v_x² + v_y²)

Parabelförmige Bewegung (Schräger Wurf)

Beim schrägen Wurf wird ein Körper mit einer Anfangsgeschwindigkeit v₀ unter einem Winkel θ zur Horizontalen geworfen.

• Anfangsgeschwindigkeitskomponenten:
  • v_0x = v₀ ⋅ cos(θ)
  • v_0y = v₀ ⋅ sin(θ)
• Positionskomponenten:
  • x(t) = v_0xt
  • y(t) = y₀ + v_0yt - ½ gt²
• Geschwindigkeitskomponenten:
  • v_x(t) = v_0x (konstant)
  • v_y(t) = v_0y - gt
• Ortsvektor: r(t) = x(t)i + y(t)j
• Geschwindigkeitsvektor: v(t) = v_x(t)i + v_y(t)j

Maximale Reichweite beim schrägen Wurf

Die maximale horizontale Reichweite (R) wird erreicht, wenn der Körper wieder die Starthöhe (y = y₀) erreicht, d.h., wenn y(t) = y₀ ist.

• Flugzeit bis zum Erreichen der Starthöhe: t_Flug = (2v₀ ⋅ sin(θ)) / g
• Maximale Reichweite: R = (v₀² ⋅ sin(2θ)) / g

Maximale Höhe beim schrägen Wurf

Die maximale Höhe (h_max) wird erreicht, wenn die vertikale Geschwindigkeitskomponente des Körpers Null ist (v_y = 0).

• Zeit bis zur maximalen Höhe: t_{h_max} = (v₀ ⋅ sin(θ)) / g
• Maximale Höhe (vom Startpunkt): h_max = (v₀² ⋅ sin²(θ)) / (2g)

Überlagerung von gleichförmigen Bewegungen

Wenn ein Körper sich gleichzeitig in mehreren unabhängigen, gleichförmigen Bewegungen befindet, können die Komponenten überlagert werden:

• Ortsvektor: r = xi + yj
• Geschwindigkeitsvektor: v = v_xi + v_yj
• Positionskomponenten:
  • x = v_xt
  • y = v_yt

Gleichförmige Kreisbewegung (GKB)

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung bewegt sich ein Körper mit konstanter Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn.

• Winkelgeschwindigkeit (ω): ω = Δθ / Δt
• Bahngeschwindigkeit (v): v = Δs / Δt
• Beziehung zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit: v = ωr
• Winkelposition: θ(t) = θ₀ + ωt

Periodendauer und Frequenz

• Periodendauer (T): Zeit für eine volle Umdrehung. T = 1 / f
• Frequenz (f): Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit. f = 1 / T
• Beziehung zur Winkelgeschwindigkeit:
  • ω = 2π / T
  • ω = 2πf

Zentripetalbeschleunigung

• Zentripetalbeschleunigung (a_c):
  • a_c = v² / r
  • a_c = ω²r
  • a_c = (2π / T)²r

Gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung (GBKB)

Bei der gleichförmig beschleunigten Kreisbewegung ändert sich die Winkelgeschwindigkeit konstant.

• Winkelbeschleunigung (α): α = Δω / Δt
• Winkelgeschwindigkeit: ω(t) = ω₀ + αt
• Winkelposition: θ(t) = θ₀ + ω₀t + ½ αt²