Konservative Kräfte, potenzielle Energie und Keplers Gesetze

Block 1

Konservative Kräfte: Viele Arten von Kräften, bei denen die Arbeit, die verrichtet werden muss, um einen Körper zwischen zwei Punkten zu bewegen, vom zurückgelegten Weg abhängt (z. B. Reibungskräfte). Nicht so im Fall eines bestimmten Typs von Kräften, die als konservativ bezeichnet werden. Eine konservative Kraft ist eine Kraft, die in der Lage ist, die gegen sie verrichtete Arbeit zurückzugeben. Sie zeichnen sich dadurch aus, dass die verrichtete Arbeit nur von der Anfangs- und Endposition abhängt, nicht vom zurückgelegten Weg. Aus diesem Grund ist die Arbeit in einem geschlossenen Weg Null. Dies ist eine Eigenschaft, die die Zentralkräfte aufweisen. Die Bereiche, in denen diese Kräfte wirken, haben wiederum den Namen konservativ erhalten. Da die Verrichtung von Arbeit mit einer Änderung der Energie einhergeht, können wir eine neue Art von Energie definieren, die mit der Position verbunden ist. Damit ist es wahr, dass die von dieser Kraft verrichtete Arbeit der Differenz zwischen dem Anfangs- und Endwert dieser Energie entspricht. Diese wird als potenzielle Energie bezeichnet und hängt nur von den Koordinaten ab.

Potenzielle Energie

Zur Ableitung des Energieausdrucks berechnen wir die Arbeit, die durch die Schwerkraft von einem Punkt im Unendlichen zu einem beliebigen Punkt im Feld in einem Abstand r vom Objekt, das das Feld erzeugt, verrichtet wird:

(Das vorstehende Ergebnis wird durch Anwendung der Eigenschaften bestimmter Integrale erhalten). Setzt man voraus, kommen wir zu dem Ausdruck: Wenn wir die potenzielle Energiequelle (Null) auf unendlich setzen:

Welches der Wert ist, den die potenzielle Energie eines Objekts der Masse m' annimmt, das sich in einem Abstand r vom Objekt der Masse m befindet, das das Feld erzeugt.

Die potenzielle Energie ist immer negativ, steigt aber, wenn man sich von der Oberfläche der Erde entfernt.

Keplers Gesetze

1. Keplers erstes Gesetz: Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, die in einem Brennpunkt steht.

Da der Vektor L im System konstant ist, ändert sich weder seine Größe noch seine Richtung (er steht senkrecht zur Ebene der Ekliptik, nach oben, links). Daher ändert sich die Ebene nicht.

2. Keplers zweites Gesetz: Beschreibt, dass die Verbindungslinie zwischen der Erde und der Sonne in ihrer Bewegung um die Sonne in gleichen Zeiten gleiche Flächen "überstreicht", d. h. die Flächengeschwindigkeit bleibt konstant.

Beweis: In einer Zeit dt bewegt sich ein Planet durch einen Raum

Ein Blick auf die Zeichnung zeigt, dass die Fläche des Dreiecks, das gebildet wird, gegeben ist durch:

Wir erinnern uns daran, dass das Vektorprodukt die Fläche des Parallelogramms darstellt.

Wir zeigen, dass die überstrichene Fläche von der Masse, dem Drehimpulsmodul und der Zeit abhängt. Die Masse ist konstant, der Drehimpuls L ist konstant, wie im ersten Gesetz erwähnt, wobei die Zentralkräfte und die Gravitation in Abwesenheit äußerer Kräfte wirken. Für den gleichen Zeitraum wird die überstrichene Fläche gleich sein.

Dies deutet darauf hin, dass die Planeten, wenn sie durch das Perihel ihrer Bahn (Bereich am nächsten zur Sonne) reisen, schneller sind als im Aphel (Bereich am weitesten von der Sonne entfernt), weil sie die gleiche Fläche in der gleichen Zeit überstreichen müssen, wenn der Radius kleiner ist.

3. Keplers drittes Gesetz: Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten um die Sonne verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen ihrer Bahnen in ihrer Rotation um die Sonne. T² = k * R³