Korrespondenzen und Anwendungen: Definition und Typen

Korrespondenzen und Anwendungen

T.3. Korrespondenzen und Anwendungen

Korrespondenz: Seien zwei Mengen A und B gegeben. Eine Korrespondenz f zwischen A und B, bezeichnet als f: A → B, ist eine Regel oder ein Kriterium, das die Elemente der Menge A mit den Elementen der Menge B verknüpft. Wenn einem Element x ∈ A ein Element y ∈ B zugeordnet ist, sagt man: "y ist das Bild von x in der Korrespondenz f" oder "x ist das Urbild von y in f". In beiden Fällen wird dies als y = f(x) ausgedrückt.

In jeder Korrespondenz f: A → B müssen wir die folgenden Begriffe unterscheiden:

• Erste Menge von f: Das ist die Menge A.
• Zweite Menge von f: Das ist die Menge B.
• Urbildmenge von f: Das ist die Menge aller Elemente, die Urbilder anderer sind, d.h. die Elemente von A, die ein Bild in der Korrespondenz f haben. Gr. f = {x ∈ A | ∃ y ∈ B, y = f(x)} ⊆ A.
• Bildmenge von f: Das ist die Menge aller Elemente, die Bilder anderer sind, d.h. die Elemente von B, die ein Urbild in der Korrespondenz haben. Imf = {y ∈ B | ∃ x ∈ A, y = f(x)} ⊆ B.

Spezialfälle:

• Inverse Korrespondenz: Zu einer Korrespondenz f: A → B gibt es eine inverse Korrespondenz f^-1: B → A, die jedem Element von B das Element von A zuordnet, dessen Urbild es in f war, d.h. f^-1(y) = x, wobei y = f(x).
• Eindeutige Korrespondenz: Eine Korrespondenz, in der jedem Element der ersten Menge höchstens ein Element der zweiten Menge zugeordnet ist, d.h. unter den Bildelementen gibt es nur eindeutige.
• Eineindeutige Korrespondenz: Eine Korrespondenz, in der die Elemente der ersten Menge, die ein Bild haben, nur ein Element der zweiten Menge als Bild haben und die Elemente der zweiten Menge, die Urbilder sind, nur ein Urbild haben. Das heißt, wenn sowohl die Korrespondenz als auch ihre Inverse eindeutig sind.
• Funktion: Eine eindeutige Korrespondenz zwischen numerischen Mengen.
  • Definitionsbereich von f: Df
  • Wertebereich oder Bildbereich von f: Imf

Definition einer Anwendung

Seien zwei Mengen A und B gegeben. Eine Anwendung f zwischen A und B, bezeichnet als f: A → B, ist eine Korrespondenz, in der jedes Element der ersten Menge ein eindeutiges Bild hat. Die Urbildmenge stimmt mit der ersten Menge überein. Symbolisch: ∀x ∈ A, ∃! y ∈ B, y = f(x).

Arten von Anwendungen

• Injektiv: Wenn verschiedene Elemente immer verschiedene Bilder haben. x ≠ y ⇒ [f(x) ≠ f(y)] oder äquivalent [f(x) = f(y)] ⇒ [x = y].
• Surjektiv: Eine Anwendung f: A → B ist surjektiv, wenn jedes Element der zweiten Menge mindestens ein Urbild hat. ∀y ∈ B, ∃ x ∈ A, f(x) = y <=> Imf = B.
• Bijektiv: Wenn eine Anwendung gleichzeitig injektiv und surjektiv ist (gleiche Anzahl von Elementen in A und B).

Komposition von Anwendungen

Seien zwei Anwendungen f: A → B und g: B → C gegeben. Die Komposition von f mit g, bezeichnet als g o f, ist eine Anwendung g o f: A → C, die wie folgt definiert ist: ∀x ∈ A, (g o f)(x) = g(f(x)). Es ist nicht immer möglich, zwei Anwendungen zu komponieren. Eine hinreichende Bedingung dafür, dass f mit g komponiert werden kann, ist, dass die zweite Menge von f in der ersten Menge von g enthalten ist. Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass f mit g komponiert werden kann, ist, dass die Bildmenge von f in der Urbildmenge von g enthalten ist.

Eigenschaften der Komposition von Anwendungen

1. Im Allgemeinen ist sie nicht kommutativ, d.h. g o f ≠ f o g.
2. Sie ist assoziativ: Seien f: A → B, g: B → C und h: C → D ... h o (g o f) = (h o g) o f.
3. Die Komposition von zwei injektiven Anwendungen ist immer eine andere injektive Anwendung.
4. Die Komposition von zwei surjektiven Anwendungen ist immer eine andere surjektive Anwendung.
5. Die Komposition von zwei bijektiven Anwendungen ist immer eine andere bijektive Anwendung.

Inverse Anwendung einer gegebenen Anwendung

Eigenschaften: Zu einer bijektiven Anwendung f: A → B nennen wir die inverse Anwendung von f, bezeichnet als f^-1: B → A, die Anwendung, die jedem Element von B das Element von A zuordnet, dessen Urbild es in f war. Das heißt, ∀y ∈ B, f^-1(y) = x, wobei y = f(x).

Eigenschaften der inversen Anwendung

1. Die inverse Anwendung einer bijektiven Anwendung ist immer eine andere bijektive Anwendung.
2. Sei f: A → B eine bijektive Anwendung: Die inverse Anwendung von f^-1 ist die Anwendung f, d.h. (f^-1)^-1 = f.
3. Seien f: A → B und g: B → C zwei bijektive Anwendungen: (g o f)^-1 = f^-1 o g^-1.