Lineare Algebra Grundlagen: Gleichungssysteme, Matrizen & Determinanten

Systemtypen von Gleichungssystemen

Gleichungssysteme können nach der Anzahl ihrer Lösungen klassifiziert werden. Dabei lassen sich folgende Fälle unterscheiden:

• Inkonsistentes System (oder unlösbares System), wenn es keine Lösung gibt.
• Konsistentes System (oder lösbares System), wenn es mindestens eine Lösung gibt. In diesem Fall kann weiter unterschieden werden zwischen:
  • Bestimmtes konsistentes System, wenn es eine endliche Anzahl von Lösungen gibt.
  • Unbestimmtes konsistentes System, wenn es eine unendliche Anzahl von Lösungen gibt.

Zusammenfassung und Klassifizierung:

Bestimmung des Rangs einer Matrix

1. Eine Zeile kann entfernt werden, wenn:

• Alle Koeffizienten Nullen sind.
• Zwei Zeilen identisch sind.
• Eine Zeile proportional zu einer anderen ist.
• Eine Zeile eine lineare Kombination anderer Zeilen ist.

Beispiel: Löschen Sie die dritte Spalte, da sie eine lineare Kombination der ersten beiden ist: c₃ = c₁ + c₂

2. Eine Matrix hat Rang 1, wenn mindestens ein Element ungleich Null ist und somit eine 1x1-Untermatrix mit nicht-null Determinante existiert. Beispiel: |2| = 2 ≠ 0

3. Eine Matrix hat Rang 2, wenn es mindestens eine quadratische Untermatrix der Ordnung 2 gibt, deren Determinante ungleich Null ist.

4. Eine Matrix hat Rang 3, wenn es mindestens eine quadratische Untermatrix der Ordnung 3 gibt, deren Determinante ungleich Null ist.

Wenn alle Determinanten der Untermatrizen der Ordnung 3 Null sind, aber eine Untermatrix der Ordnung 2 eine Determinante ungleich Null hat, dann ist der Rang der Matrix 2. Beispiel: r(B) = 2.

5. Eine Matrix hat Rang 4, wenn es eine quadratische Untermatrix der Ordnung 4 gibt, deren Determinante ungleich Null ist. Auf diese Weise kann der Rang für höhere Ordnungen bestimmt werden.

Determinantenberechnung für 3x3-Matrizen

Diskussion von Gleichungssystemen: Satz von Rouché-Frobenius

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass ein System von m Gleichungen und n Unbekannten eine Lösung besitzt, ist, dass der Rang der Koeffizientenmatrix (R) und der Rang der erweiterten Matrix (R') gleich sind.

• Wenn R = R', ist das System konsistent (lösbar).
  • Wenn R = R' = n (Anzahl der Unbekannten), ist das System eindeutig lösbar (bestimmt).
  • Wenn R = R' < n, ist das System unbestimmt lösbar (unendlich viele Lösungen).
• Wenn R ≠ R', ist das System inkonsistent (unlösbar).

Beispiel: Untersuchen und lösen Sie, falls möglich, das System:

Im Folgenden wird die Untersuchung von Gleichungssystemen mit Parametern mithilfe von Determinanten und dem Satz von Rouché-Frobenius erläutert.

1. Bestimmen Sie den Rang der Koeffizientenmatrix.

2. Bestimmen Sie den Rang der erweiterten Matrix.

3. Wenden Sie den Satz von Rouché-Frobenius an.

4. Lösen Sie das System, falls es konsistent und bestimmt ist, mithilfe der Cramer'schen Regel (alternativ kann auch das Gauß-Verfahren angewendet werden).

Berechnung der inversen Matrix

1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix. Ist die Determinante null, existiert keine inverse Matrix.

2. Bestimmen Sie die Adjunkte (oder komplementäre Matrix), indem jedes Element durch seinen Kofaktor ersetzt wird.

3. Berechnen Sie die Transponierte der Adjunkten Matrix.

4. Die inverse Matrix ist das Produkt aus dem Kehrwert der Determinante und der transponierten Adjunkten Matrix.

Formeln für Matrixgleichungen

1. Fall: Addition/Subtraktion

X + B = C
X + B - B = C - B
X = C - B

2. Fall: Multiplikation von links

AX = C
Wenn die Inverse von A existiert (|A| ≠ 0):
A^-1AX = A^-1C
IX = A^-1C
X = A^-1C

3. Fall: Multiplikation von rechts

XA = C
Wenn die Inverse von A existiert (|A| ≠ 0):
XAA^-1 = CA^-1
XI = CA^-1
X = CA^-1

4. Fall: Summe von Matrixprodukten

AX + BX = C
(A + B)X = C
(A + B)^-1(A + B)X = (A + B)^-1C
IX = (A + B)^-1C
X = (A + B)^-1C

Multiplikation von Matrizen

Multiplikation von Zeilen mit Spalten (Zeile-Spalte-Prinzip).