Lineare Algebra & Numerische Methoden: MATLAB/Octave Notizen

Grundlagen der Matrixoperationen

Matrixerstellung und -formatierung

• Kurzformat, Langformat, Format einer Matrix (z.B. aus x/y Dimensionen).
• Kurzschreibweise für Zahlen (z.B. 3 * 10-5 = 3e-5).
• Matrixinitialisierung: A = [;;] (Beispiel für leere oder strukturierte Matrix).

Elementextraktion und -änderung

• Extraktion eines Elements: A(2,2).
• Ändern eines Elements an einer Position: A(Zeile, Spalte) = Wert.

Zeilen- und Spaltenextraktion

• Eine ganze Zeile extrahieren: A(Zeile,:).
• Einen Bereich von Spalten einer Zeile extrahieren: A(Zeile, 2:4) (für Spalten 2 bis 4 dieser Zeile).
• Einen Bereich von Zeilen einer Spalte extrahieren: A(3:7, Spalte).
• Einen Bereich von Spalten extrahieren (umgekehrt): A(:, 3:7).

Untermatrizen und Transposition

• Extraktion einer Untermatrix (zusammenhängender Bereich): A(2:3, 2:3).
• Transponierte Matrix: A'.
• Konjugierte Transponierte Matrix (Hermitesche Konjugation): A' (oft auch als A* bezeichnet).

Spezielle Matrizen

• Erweiterte Matrix (Augmentierte Matrix): [A | E] (als Zeilenblock) oder [A; E] (als Spaltenblock, d.h. E unter A).
• Matrix aus Einsen (skaliert): 23 * ones(3).
• Identitätsmatrix: eye(x, y).

Lineare Gleichungssysteme (Ax = b)

Lösungsstrategien und Rang

• Eindeutige Lösung (SCD - Sistema Compatible Determinado):
  • Bedingung: Rang(A) = Rang([A | b]) = Anzahl der Unbekannten
  • Lösung: x = A \ b
• Unendlich viele Lösungen (SCI - Sistema Compatible Indeterminado):
  • Bedingung: Rang(A) = Rang([A | b]) < Anzahl der Unbekannten
  • 1. Lösung des homogenen Systems: null(A, 'r')
  • 2. Partikuläre Lösung: x0 = A \ b

LU-Faktorisierung (A = LU)

• Elementare Zeilenoperationen werden angewendet, um Nullen unterhalb der Hauptdiagonale zu erzeugen, was die obere Dreiecksmatrix U ergibt.
• Die untere Dreiecksmatrix L kann berechnet werden als: L = A * inv(U).

Determinanten von Hauptuntermatrizen

• Berechnung der Determinanten der führenden Hauptminoren:

  for k = 1:4
      det(A(1:k, 1:k))
  end

Reduzierte Zeilenstufenform (rref)

• Berechnung der reduzierten Zeilenstufenform einer Matrix: rref(A).

Elementare Zeilenoperationen

• Zeile i = Zeile i + Skalar * Zeile j:

  A(i,:) = A(i,:) + Skalar * A(j,:);

• Zeilentausch (Zeile f und Zeile F tauschen):

  v = A(f,:);
  A(f,:) = A(F,:);
  A(F,:) = v;

Spezielle Matrixeigenschaften und Analysen

Symmetrische Matrizen und Hauptminoren (Labor 6)

• Definition der symmetrischen Komponente: Mc = 1/2 * (A + A').
• Berechnung der Determinanten der führenden Hauptminoren (Sylvesters Kriterium):

  for k = 1:n
      det(M(1:k, 1:k))
  end

Iterative Methoden für Ax = b

Grundlagen iterativer Verfahren

• Ziel: Lösen von Ax = b, wenn eine direkte Lösung (x = A \ b) zu aufwendig ist.
• Eine Folge xk für k ∈ N wird generiert, die gegen die exakte Lösung x ∈ Cn konvergiert: limk→∞ xk = x.
• Allgemeine Form: A = M - N, woraus Mx - Nx = b und somit Mx = Nx + b folgt.
• Iterative Formel: Wählen Sie x0 beliebig. Dann ist xk+1 = M \ (N * xk + b).
• Zerlegung von Matrix A: A = D + L + U, wobei:
  • D die Diagonalmatrix ist (diag(diag(A))).
  • L die strikte untere Dreiecksmatrix ist (tril(A, -1)).
  • U die strikte obere Dreiecksmatrix ist (triu(A, 1)).

Klassische Iterationsmethoden

• Jacobi-Verfahren

  • M = D
  • N = -(L + U)

• Gauß-Seidel-Verfahren

  • M = D + L
  • N = -U

• SOR-Verfahren (mit Relaxationsparameter ω ≠ 0)

  • M = D/ω + L
  • N = ((1-ω)/ω) * D - U

Konvergenzprüfung

• Berechnung der Iterationen (Beispiel für 50 Schritte):

  for k = 1:50
      x = M \ (N * x + b);
  end

• Überprüfung der Genauigkeit des Ergebnisses: norm(A * x - b).

Lineare Abbildungen und Vektorräume

Lineare Unabhängigkeit und Spann

• Gegeben eine Menge von Vektoren: S = {v1, v2, v3, v4}.
• Wenn die Matrix A = [v1 | v2 | v3 | v4] (Vektoren als Spalten) den Rang Rang(A) = 4 hat, dann ist die Menge S linear unabhängig.
• Ein Vektor v = (1, 3, -7, ...) liegt im Spann von S (v ∈ span(S)), wenn es Koeffizienten j, k, ... gibt, sodass A * [j, k, ...]' = v. Dies kann gelöst werden mit [j, k, ...]' = A \ v.

Matrixdarstellung linearer Abbildungen

• Betrachten Sie eine lineare Abbildung F: R4B → R4B', wobei B = {v1, v2, v3, v4} eine Basis ist.
• Die Bilder der Basisvektoren sind f(vi) = (...)B' (Koordinaten bezüglich Basis B').
• Die zugehörige Matrix A der linearen Abbildung (oft als MB'B bezeichnet) wird aus den Koordinaten der Bilder der Basisvektoren gebildet.

Rang, Bild und Kern einer linearen Abbildung

• Rang der Abbildung: Rang(f) = dim[Im(f)] = Rang(A).
• Basis des Bildes (Im(f)):
  • Die Vektoren {f(v1), ...} sind die Erzeuger des Bildes von f.
  • Um eine Basis zu finden, berechnen Sie rref(A) und nehmen Sie die von Null verschiedenen Spaltenvektoren; diese bilden die Basis.
• Basis des Kerns (Ker(f)):
  • Die Basis des Kerns wird durch null(A, 'r') gefunden (Spaltenvektoren).
  • Es gilt der Rangsatz: dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(Definitionsbereich).

Basis eines Unterraums und Bild unter Abbildung

1. Finden der Erzeuger eines Unterraums U:
   • Gegeben eine Bedingung wie D * [x, y, z, t]' = 0.
   • Die Basisvektoren B = [r1 | ... | rn] werden durch null(D, 'r') gefunden.
2. Finden der Bilder der Basisvektoren unter f:
   • Berechnen Sie U = A * B = [f(v1) | ... | f(vn)].
3. Finden der Basis des Bildes von U unter f:
   • Berechnen Sie rref(U), um die Basisvektoren zu erhalten.