Logik Grundlagen: Aussagen, Quantoren und Beziehungen

Grundlagen der Logik: Aussagen und ihre Eigenschaften

Aussagen sind spezifische Verwendungen von Sprache, die signifikante Informationen über die Welt enthalten und daher wahr oder falsch sein können. Sie verbinden verwandte Klassen miteinander.

Definitionen und Konzepte

• Eine Klasse ist die Extension oder Denotation eines Begriffs, d.h. die Menge von Individuen oder Objekten, auf die ein Wort oder Ausdruck zutrifft.
• Die Qualität eines Satzes ist entweder bejahend (affirmative) oder verneinend (negative). Sie ist bejahend, wenn eine Klasse in einer anderen enthalten ist, und verneinend, wenn sie ausgeschlossen ist.
• Die Quantität (oder der Umfang) eines Satzes gibt an, inwieweit eine Klasse in eine andere eingeschlossen oder von ihr ausgeschlossen ist. Sie ist universell, wenn die Einbeziehung/Ausschließung vollständig ist, und partikulär, wenn sie teilweise ist.
• Die Wörter, die die Quantität eines Satzes festlegen, werden Quantoren genannt, z.B. „alle“, „keine“, „einige“.

Arten von Aussagen nach Qualität und Quantität

Die Beziehungen zwischen Klassen, die wir in einem Satz kommunizieren, können je nach ihrer Qualität und Quantität folgende Arten annehmen:

1. Eine Klasse ist in einer anderen enthalten (Bejahend)

   • Universell bejahende Aussage (A-Satz): „Alle Richter sind des Gesetzes kundig.“
   • Singulär bejahende Aussage: „Pedro Lopez ist Sekretär der Vereinbarungen.“

2. Eine Klasse ist teilweise in einer anderen enthalten (Partikulär bejahend)

   • Partikulär bejahender Satz (I-Satz): „Einige Dokumente sind für Führungskräfte bestimmt.“

3. Eine Klasse ist vollständig von einer anderen ausgeschlossen (Verneinend)

   • Universell verneinender Satz (E-Satz): „Keine Tatsache ist ein offensichtliches Beweismittel.“
   • Singulär verneinende Aussage: „Juan Campos hat in diesem Prozess keine rechtliche Persönlichkeit.“

4. Eine Klasse ist teilweise von einer anderen ausgeschlossen (Partikulär verneinend)

   • Partikulär verneinender Satz (O-Satz): „Einige Gesetze sind nicht verfassungskonform.“

Beziehungen zwischen Aussagen: Das Quadrat der Opposition

Die Opposition bezeichnet die Unvereinbarkeit von Sätzen, die in Subjekt und Prädikat identisch sind, sich aber in ihrer Quantität, Qualität oder beidem unterscheiden.

Unmittelbare Schlüsse und das Aristotelische Quadrat

Unmittelbare Schlüsse werden aus einer einzigen Prämisse gezogen. Einige basieren auf dem sogenannten Aristotelischen Quadrat der Opposition, das die Beziehungen zwischen den vier Standardformen kategorischer Aussagen darstellt:

• A-Satz: Universell bejahend („Alle S sind P“)
• E-Satz: Universell verneinend („Kein S ist P“)
• I-Satz: Partikulär bejahend („Einige S sind P“)
• O-Satz: Partikulär verneinend („Einige S sind nicht P“)

Arten der Opposition

• Konträre Aussagen (A und E)

  Die Beziehung zwischen A- und E-Sätzen ist die der Kontrarietät. Diese Sätze sind konträr zueinander, da sie nicht gleichzeitig wahr sein können, aber gleichzeitig falsch sein können.

• Widersprüchliche Aussagen (A und O; E und I)

  Die Beziehung zwischen A und O sowie zwischen E und I ist widersprüchlich. Dies tritt ein, wenn ein Satz das, was der andere aussagt, in seiner Gesamtheit verneint. Zwei sich widersprechende Aussagen erschöpfen das Universum der logischen Möglichkeiten und schließen eine dritte Möglichkeit aus. Bei dieser Art von Sätzen ist notwendigerweise eine wahr und die andere falsch; sie können nicht beide gleichzeitig wahr oder gleichzeitig falsch sein.

• Subkonträre Aussagen (I und O)

  Die Beziehung zwischen I- und O-Sätzen ist die der Subkontrarietät. Beide können gleichzeitig wahr sein, aber nicht gleichzeitig falsch. Aus der Falschheit eines Satzes kann die Wahrheit des anderen abgeleitet werden, aber aus der Wahrheit eines Satzes kann nichts über den anderen gefolgert werden.

• Subalterne Aussagen (A und I; E und O)

  Die Beziehung zwischen den Sätzen A und I sowie zwischen E und O ist Subalternation. Dies ist eine Beziehung zwischen einem universellen Satz (dem Subalternierenden) und einem partikulären Satz (dem Subalternen), wobei der partikuläre Satz im universellen enthalten ist.

  In diesem Sinne gilt:

  • Ist der universelle Satz wahr, so ist auch der entsprechende partikuläre Satz wahr.
  • Ist der partikuläre Satz falsch, so ist auch der entsprechende universelle Satz falsch.

  Daraus folgt:

  • Ist der universelle Satz falsch, kann der partikuläre Satz wahr oder falsch sein.
  • Ist der partikuläre Satz wahr, kann der universelle Satz wahr oder falsch sein.