Lösungssysteme linearer Gleichungen und Folgen

Anzahl der Lösungen eines Systems von linearen Gleichungen

Die Anzahl der Lösungen hängt von der Beziehung zwischen den Geraden ab:

• a) Sekante (X) = Bestimmtes System – Kompatibel (Genau eine Lösung)
• b) Gerade deckungsgleich (/) = Unbestimmtes System – Kompatibel (Unendlich viele Lösungen)
• c) Parallele Geraden (/ /) = Inkompatibles System (Keine Lösungen)

Methoden zum Lösen von Systemen

Wechsel-Methode (Substitutionsverfahren)

1. Lösen Sie eine der Unbekannten in einer der Gleichungen auf.

   Beispiel: Aus $x = 3 + y$ folgt $x = 3 + y$ (falls die erste Gleichung $x=3+y$ wäre, hier ist die Notation im Original unklar, wir nehmen an, es gibt zwei Gleichungen, z.B. $x - y = 3$ und $2x - 3y = 4$)

   Angenommen, wir haben:

   • $x = 3 + y$
   • $2x - 3y = 4$
2. Setzen Sie den Ausdruck in die andere Gleichung ein.

   Setze $x = 3 + y$ in $2x - 3y = 4$ ein:

   $2(3 + y) - 3y = 4$

3. Lösen Sie die Gleichung mit der verbleibenden Unbekannten.

   $2(3 + y) - 3y = 4$ $\rightarrow$ $6 + 2y - 3y = 4$ $\rightarrow$ $6 - y = 4$ $\rightarrow$ $-y = 4 - 6$ $\rightarrow$ $-y = -2$ $\rightarrow$ $y = 2$

4. Schätzen Sie den Wert der anderen Unbekannten, indem Sie den gefundenen Wert in eine der ursprünglichen Gleichungen einsetzen.

   Setze $y = 2$ in $x = 3 + y$ ein:

   $x = 3 + 2$ $\rightarrow$ $x = 5$

5. Überprüfen Sie, ob die gefundene Lösung die Lösung des Systems ist.

Gleichsetzungsverfahren

Gegeben sei das System:

• $x - y = 3$ $\rightarrow$ $x = 3 + y$
• $2x - 3y = 4$ $\rightarrow$ $2x = 4 + 3y$ $\rightarrow$ $x = \frac{4 + 3y}{2}$

1. Lösen Sie eine der Unbekannten in beiden Gleichungen auf. (Siehe oben)
2. Setzen Sie die Ausdrücke gleich.

   $3 + y = \frac{4 + 3y}{2}$

3. Lösen Sie die Gleichung mit der verbleibenden Unbekannten.

   $2(3 + y) = 4 + 3y$ $\rightarrow$ $6 + 2y = 4 + 3y$ $\rightarrow$ $6 - 4 = 3y - 2y$ $\rightarrow$ $2 = y$

4. Schätzen Sie den Wert der anderen Unbekannten.

   Setze $y = 2$ in $x = 3 + y$ ein: $x = 3 + 2$ $\rightarrow$ $x = 5$

5. Überprüfen Sie, ob die gefundene Lösung die Lösung des Systems ist.

Reduktionsmethode (Additions-/Subtraktionsverfahren)

Gegeben sei das System:

• $x - y = 3$ (Multipliziert mit 2: $2x - 2y = 6$)
• $2x - 3y = 4$

1. Multiplizieren Sie die Gleichungen so, dass die Koeffizienten einer Unbekannten gleich oder entgegengesetzt sind. (Hier: $2x$ in beiden Gleichungen)
2. Subtrahieren oder addieren Sie die Gleichungen, um die Unbekannte zu eliminieren. (Subtrahieren, da die Koeffizienten gleich sind)

   $(2x - 2y) - (2x - 3y) = 6 - 4$ $\rightarrow$ $2x - 2y - 2x + 3y = 2$ $\rightarrow$ $y = 2$

3. Lösen Sie die Gleichung mit der verbleibenden Unbekannten.

   $y = 2$

4. Schätzen Sie den Wert der anderen Unbekannten.

   Setze $y = 2$ in $x - y = 3$ ein: $x - 2 = 3$ $\rightarrow$ $x = 5$

5. Überprüfen Sie, ob die gefundene Lösung die Lösung des Systems ist.

Zur Grafik

Um das System grafisch darzustellen:

1. Lösen Sie beide Gleichungen nach $y$ auf.
2. Geben Sie Werte für $x$ ein (z.B. $-1, 0, 1$) und berechnen Sie die entsprechenden $y$-Werte.
3. Zeichnen Sie die Geraden. Der Schnittpunkt ist die Lösung.

Die Geraden sind entweder Sekanten (ein Schnittpunkt) oder parallel oder deckungsgleich.

Formeln für die arithmetische Folge

• Allgemeines Glied ($n$-tes Glied): $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$
• Summe der ersten $n$ Glieder: $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Formeln der geometrischen Progression

• Allgemeines Glied ($n$-tes Glied): $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
• Summe der ersten $n$ Glieder: $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r-1}$ (oder $S_n = \frac{a_n \cdot r - a_1}{r-1}$)
• Summe der unendlichen Reihe (wenn $|r| < 1$): $S_{\infty} = \frac{a_1}{1-r}$
• Produkt der ersten $n$ Glieder: $P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}$

Formel der quadratischen Gleichung (Mitternachtsformel)

Für $ax^2 + bx + c = 0$:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$