Markowitz-Portfolios und Sharpes Single-Index-Modell

Markowitz-Portfolios: Risiko, Rendite und Diversifikation

Die Markowitz-Portfolio-Theorie befasst sich mit der Auswahl optimaler Portfolios. Sie berücksichtigt das Risiko (Volatilität) und die erwartete Rendite von Einzelwerten sowie die Kovarianz und Korrelation zwischen diesen Titeln.

Diversifikation zielt darauf ab, die Variabilität des erwarteten Risikos zu reduzieren. Basierend auf diesem Modell kann ein Investor eine Kombination wählen, die ein bestimmtes Verhältnis von Risiko und Rendite bietet.

Das effiziente Portfolio

Ein Portfolio ist optimal für die Diversifikation, wenn es die maximale Rentabilität für ein gegebenes Risiko bietet oder das Risiko für eine gegebene Rendite minimiert. Ein solches Portfolio wird als effizient bezeichnet.

Grundlegende Annahmen (Hypothesen)

1. Rationales Anlegerverhalten: Investoren würden eine höhere Rendite einer niedrigeren Rendite vorziehen.
2. Risikoaversion: Investoren bevorzugen das geringstmögliche Risiko.

Die drei Schritte zur Bestimmung des optimalen Portfolios

1. Bestimmung der Effizienten Grenze (Efficient Frontier)

   Die Effiziente Grenze besteht aus allen effizienten Kombinationen von Risiko und Rendite. Sie wird mithilfe eines quadratischen Programmierungsmodells ermittelt, das darauf abzielt, die Rendite bei einem gegebenen Risiko zu maximieren.

   (FS = Für alle Anleger)

2. Bestimmung der Nutzenkurven (Indifferenzkurven)

   Diese Kurven werden durch das individuelle Verhalten des Anlegers gegenüber dem Risiko bestimmt und müssen rationales Verhalten widerspiegeln.

   Je weiter wir uns auf der vertikalen Achse (Rendite) nach oben bewegen, desto geringer ist das Risiko für jede Renditeebene.

3. Definition des optimalen Portfolios

   Das optimale Portfolio ist das nützlichste Portfolio für den jeweiligen Investor. Es stellt den Berührungspunkt zwischen der Effizienten Grenze und der höchsten erreichbaren Nutzenkurve dar.

Sharpes Lösung: Das Single-Index-Modell

Die Anzahl der Schätzungen, die benötigt werden, um effiziente Portfolios nach Markowitz zu berechnen, ist sehr hoch, was ein praktisches Problem darstellt.

Anzahl der notwendigen Schätzungen (Markowitz)

• N: Erwartete Renditen
• N: Varianzen (Abweichungen)
• N(N-1)/2: Kovarianzen

Gesamtzahl der Schätzungen: N(N+3)/2 (Beispiel: Für 10 Titel sind 65 Schätzungen erforderlich).

Sharpe vereinfacht dies, indem er die Notwendigkeit reduziert, alle Kovarianzen zwischen den einzelnen Werten zu berechnen. Er geht davon aus, dass die Korrelation der Renditen der Titel hauptsächlich durch ihre Beziehung zu einem einzigen Index bestimmt wird, der die relevanten wirtschaftlichen Faktoren abbildet.

Komponenten des Single-Index-Modells

• R_i: Rendite des Titels.
• α_i (Alpha): Parameter, der die Rendite eines Titels unabhängig vom Marktindex anzeigt.
• β_i (Beta): Parameter, der die Veränderung der Rendite eines Titels in Konsequenz der Indexbewegung (I) anzeigt.
• I: Index-Rendite des Marktes (R_MT).
• E_i: Durchschnittliche verbleibende Variationen, unabhängig von der Marktrendite.

Die Rendite wird als Zufallsvariable betrachtet, wobei die erwartete Rendite durch den Erwartungswert und das Risiko durch die Varianz (oder Standardabweichung) gegeben ist.

Risikokomponenten

Die Risikokomponenten sind:

• Systematisches Risiko (Marktrisiko): Das Risiko, das durch die Beziehung des Titels zum Index entsteht.
• Spezifisches Risiko (Unsystematisches Risiko): Das Risiko, das mit den individuellen Merkmalen jedes Titels verbunden ist. Dieses spezifische Risiko kann durch Diversifikation reduziert und nahezu eliminiert werden.

Reduzierung der Schätzungen durch Sharpe

Sharpe reduziert die notwendigen Schätzungen erheblich:

• N Parameter für α_i
• N Parameter für β_i
• N Varianzen (der Residuen E_i)
• 1 Index-Rendite (Marktindex)
• 1 Varianz des Marktindex

Gesamtzahl der Schätzungen: 3N + 2 (Beispiel: Für 10 Titel sind nur 32 Schätzungen erforderlich, verglichen mit 65 bei Markowitz).