Mathematische Formelsammlung: Analysis, Grenzwerte & Integrale

Grenzwerte und Reihen

Quotientenkriterium (D'Alembert)

Eine Reihe ∑A_n konvergiert, wenn limn→∞ |An+1/An| < 1.

Satz von Stolz-Cesaro

Wenn limn→∞ (An - An-1) / (Bn - Bn-1) = L existiert und Bn streng monoton und unbeschränkt ist, dann ist auch limn→∞ An / Bn = L.

Arithmetisches Mittel

Für eine Folge An gilt: limn→∞ (A1 + ... + An) / n = limn→∞ An (falls der rechte Grenzwert existiert).

Geometrisches Mittel

Für eine Folge An gilt: limn→∞ √n(A1 * ... * An) = limn→∞ An (falls der rechte Grenzwert existiert und An > 0).

Konvergenzkriterien für Reihen

Konvergenzkriterium nach Raabe

Eine Reihe ∑A_n konvergiert, wenn limn→∞ n * (An / An+1 - 1) > 1.

Konvergenzkriterium nach Pringsheim

Eine Reihe ∑A_n konvergiert, wenn limn→∞ na * An = L mit a > 1 und L endlich.

Wurzelkriterium (Cauchy)

Eine Reihe ∑A_n konvergiert, wenn limn→∞ √n(|An|) < 1.

Logarithmisches Kriterium

Eine Reihe ∑A_n konvergiert, wenn limn→∞ log(1/An) / log(n) > 1.

Absolute Konvergenz

Wenn die Reihe ∑ |(-1)n An| konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe ∑ (-1)n An.

Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen

Eine alternierende Reihe ∑ (-1)n An konvergiert, wenn:

1. limn→∞ An = 0
2. Die Folge An monoton fallend ist (An+1 ≤ An für alle n).

Spezielle Reihen

Hypergeometrische Reihe

Eine hypergeometrische Reihe hat die Form ∑ cn mit cn+1/cn = (n+a)(n+b) / ((n+c)(n+1)).

Konvergenz: Die Reihe konvergiert, wenn c - a - b > 0.

Summe: A1 * b / (c - b) (spezifische Formel).

Teleskopreihe

Eine Teleskopreihe hat die Form ∑ (Xn - Xn-1).

Summe: limN→∞ ∑n=1N (Xn - Xn-1) = XN - X0.

Äquivalente Infinitesimale (für x → 0)

• sin(x) ∼ x
• tan(x) ∼ x
• arcsin(x) ∼ x
• arctan(x) ∼ x
• 1 - cos(x) ∼ x2 / 2
• ln(1 + x) ∼ x
• ex - 1 ∼ x
• (1 + x)k - 1 ∼ kx

Theoreme der Differentialrechnung

Satz von Rolle

Wenn eine Funktion f(x) stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b) ist, und wenn f(a) = f(b) gilt, dann existiert mindestens ein c ∈ (a, b), sodass f'(c) = 0.

Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Lagrange)

Wenn eine Funktion f(x) stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b) ist, dann existiert mindestens ein c ∈ (a, b), sodass f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).

Nullstellensatz von Bolzano

Wenn eine Funktion f(x) stetig auf [a, b] ist und f(a) * f(b) < 0 gilt (d.h., f(a) und f(b) haben unterschiedliche Vorzeichen), dann existiert mindestens ein c ∈ (a, b), sodass f(c) = 0.

Ableitungsregeln

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

• d/dx (tan(x)) = sec2(x) = 1/cos2(x) = 1 + tan2(x)
• d/dx (cot(x)) = -csc2(x) = -1/sin2(x) = -(1 + cot2(x))
• d/dx (arcsin(x)) = 1 / √(1 - x2)
• d/dx (arctan(x)) = 1 / (1 + x2)

Ableitungen hyperbolischer Funktionen

• d/dx (sinh(x)) = cosh(x)
• d/dx (cosh(x)) = sinh(x)

Kettenregel für Ableitungen

• d/dx (cot(u)) = -csc2(u) * u'
• d/dx (sec(x)) = sec(x)tan(x)
• d/dx (sec(u)) = sec(u)tan(u) * u'
• d/dx (csc(x)) = -csc(x)cot(x)
• d/dx (csc(u)) = -csc(u)cot(u) * u'
• d/dx (af(x)) = af(x) * ln(a) * f'(x)

Unbestimmte Integrale

• ∫ (1/cos2(x)) dx = ∫ sec2(x) dx = tan(x) + C
• ∫ (1/sin2(x)) dx = ∫ csc2(x) dx = -cot(x) + C
• ∫ (1/√(1 - x2)) dx = arcsin(x) + C
• ∫ (1/√(1 + x2)) dx = arcsinh(x) + C
• ∫ (1/√(x2 - 1)) dx = arccosh(x) + C
• ∫ (1/(1 + x2)) dx = arctan(x) + C
• ∫ (1/(1 - x2)) dx = arctanh(x) + C (für |x| < 1)
• ∫ (1/(|x|√(x2 - 1))) dx = arcsec(x) + C

Anwendungen der Integralrechnung

Volumen von Rotationskörpern

• Rotation um die x-Achse: Vx = π ∫ f(x)2 dx
• Rotation um die y-Achse: Vy = 2π ∫ x * f(x) dx

Oberfläche von Rotationskörpern

• Rotation um die x-Achse: Ax = 2π ∫ f(x) * √(1 + (f'(x))2) dx
• Rotation um die y-Achse: Ay = 2π ∫ x * √(1 + (f'(x))2) dx