Mathematische Funktionen: Ein umfassendes Glossar

Funktion

Eine Funktion ist eine Regel oder Korrespondenz, die jedem Element x einer Menge A genau ein Element y einer Menge B zuordnet. Es ist eine besondere Beziehung zwischen den Elementen zweier Mengen.

Elemente einer Funktion

• Definitionsmenge (Domain): Bei einer Funktion f: A → B ist die Definitionsmenge (Domain) die erste Menge (A).
• Kodomain (Zielmenge): Die Kodomain (oder Zielmenge) ist die zweite Menge (B), die die möglichen Werte enthält, denen die Elemente der Definitionsmenge zugeordnet werden können.
• Bild einer Funktion: Das Bild einer Funktion (f) ist die Menge aller Werte in der Kodomain, die tatsächlich von Elementen der Definitionsmenge angenommen werden. Wenn f: A → B, dann ist das Bild die Menge aller b in B, für die es ein a in A gibt, sodass f(a) = b.

Merkmale einer Funktion

Eine Funktion ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die nicht unbedingt Zahlen sein müssen. Dabei wird jedem Element der ersten Menge genau ein Element der zweiten Menge zugeordnet.

Korrespondenzregel

Eine Korrespondenzregel legt fest, wie jedes Element einer Menge mit einem anderen Element in Beziehung gesetzt wird.

Intervall

Ein Intervall ist ein Abschnitt auf der x- oder y-Achse, der durch zwei Grenzen (eine obere und eine untere) definiert ist.

Arten von Intervallen

• Offene Intervalle: Schließen ihre Grenzen nicht mit ein. Die tatsächlichen Werte liegen zwischen den Grenzen (gekennzeichnet durch runde Klammern, z.B. (a, b)).
• Geschlossene Intervalle: Schließen ihre Grenzen mit ein (gekennzeichnet durch eckige Klammern, z.B. [a, b]).

Ungleichungen

Ungleichungen sind algebraische Ausdrücke, deren Lösungsmenge aus einer unendlichen Anzahl von Werten bestehen kann. Sie werden unter Anwendung ähnlicher Prinzipien wie Gleichungen gelöst. Wichtige Regeln sind zum Beispiel das Umkehren des Ungleichheitszeichens, wenn beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert werden.

Arten von Funktionen

Funktionen können in verschiedene Kategorien eingeteilt werden, darunter:

• Algebraische Funktionen: Sind solche, die durch eine endliche Anzahl algebraischer Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Wurzelziehen) aus Polynomen gebildet werden können.
• Transzendente Funktionen: Sind Funktionen, die nicht durch eine endliche Anzahl algebraischer Operationen aus Polynomen gebildet werden können. Dazu gehören beispielsweise exponentielle und logarithmische Funktionen.

Spezifische Funktionstypen

• Exponentialfunktionen: Funktionen, bei denen die Basis eine feste Zahl und der Exponent eine Variable ist (z.B. f(x) = a^x). Es gibt verschiedene Typen, darunter solche mit einer beliebigen positiven Basis (a > 0, a ≠ 1) und solche mit der Eulerschen Zahl e (ca. 2.71828) als Basis, die als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet wird.

• Potenzgesetze und Graphen: Die Potenzgesetze sind Regeln, die das Rechnen mit Exponenten vereinfachen. Zum Beispiel gilt für rationale Exponenten: a^m/n = ⁿ√a^m. Ein Sonderfall ist a⁰ = 1 (für a ≠ 0). Die Graphen von Exponentialfunktionen können wachsend (aufsteigend) oder fallend (absteigend) sein.

• Logarithmische Funktionen: Sind die Umkehrfunktionen von Exponentialfunktionen. Sie dienen dazu, arithmetische Operationen zu vereinfachen, insbesondere Multiplikationen und Divisionen in Additionen und Subtraktionen umzuwandeln.
• Stetige und unstetige Funktionen:
  • Eine stetige Funktion ist eine Funktion, deren Graph keine Sprünge oder Lücken aufweist. Formal ist eine Funktion f an einem Punkt a stetig, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a gleich f(a) ist (lim_x→a f(x) = f(a)).
  • Eine Funktion ist unstetig, wenn sie an einem Punkt nicht stetig ist.
• Zunehmende und abnehmende Funktionen:
  • Eine Funktion ist in einem Intervall zunehmend (monoton steigend), wenn für x₁ < x₂ gilt: f(x₁) ≤ f(x₂).
  • Eine Funktion ist abnehmend (monoton fallend), wenn für x₁ < x₂ gilt: f(x₁) ≥ f(x₂).

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion (oder inverse Funktion) einer Funktion f(x) wird mit f^-1(x) bezeichnet. Sie kehrt die Zuordnung von f(x) um. Um sie zu finden, muss man die Gleichung nach der unabhängigen Variablen auflösen und dann die Variablen vertauschen.

Spezielle Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt Funktionen mit besonderen Eigenschaften:

• Absolutwert: Der Absolutwert einer Zahl wird durch zwei senkrechte Linien um die Zahl (|x|) definiert und ist immer positiv oder null.
• Treppenfunktion: Eine Treppenfunktion (oder Stufenfunktion) ist eine Funktion, die aus zwei oder mehr konstanten Abschnitten besteht, die über bestimmte Intervalle der x-Achse definiert sind.

Polynomfunktionen

Polynomfunktionen sind algebraische Funktionen, deren Funktionsgleichung ein Polynom ist.

Definitionen im Kontext von Polynomfunktionen

• Polynom: Ein Polynom ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Variablen und Koeffizienten besteht, die nur durch Addition, Subtraktion und Multiplikation sowie nicht-negative ganzzahlige Potenzen der Variablen verbunden sind.
• Lineare Funktion: Eine lineare Funktion ist eine Funktion, deren Gleichung die Form y = mx + b hat, wobei m die Steigung der Geraden und b der y-Achsenabschnitt ist.
• Konstante Funktion: Eine konstante Funktion ist eine Funktion, deren Gleichung f(x) = c lautet, wobei c ein fester, konstanter Wert aus dem Bereich der reellen Zahlen (R) ist.
• Quadratische Funktion: Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = ax² + bx + c, wobei a, b und c Konstanten sind und x die Variable ist (a ≠ 0).