Mathematische Konzepte und Formeln: Ein Leitfaden

Mathematische Konzepte und Formeln

Bolzanos Theorem

Sei f(x) eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b]. Wenn die Funktionswerte f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben, dann existiert mindestens ein Wert c im Intervall (a, b), sodass f(c) = 0 ist.

Folgerung: Seien f(x) und g(x) stetige Funktionen auf [a, b]. Falls f(a) > g(a) und f(b) < g(b) oder f(a) < g(a) und f(b) > g(b), dann existiert ein Wert c im Intervall (a, b), sodass f(c) = g(c).

Beispiel: f(0) = 1, g(0) = 0, f(10) = 22.025, g(10) = 22.026, also f(10) < g(10).

Stetige Funktionen und Ableitungen

Sei f(x) eine stetig differenzierbare Funktion auf [a, b]. Dann existiert der Grenzwert der Ableitung an jedem Punkt.

Lineare Algebra

Linearkombination: Eine Linearkombination von Vektoren (x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3) ist gegeben durch a(x1, y1, z1) + b(x2, y2, z2) + c(x3, y3, z3) = (x4, y4, z4), wobei a, b und c Skalare sind.

Geometrie

Abstand zwischen zwei Punkten: Der Abstand zwischen zwei Punkten ist durch den Betrag des Vektors zwischen den Punkten gegeben.

Abstand zwischen Punkt und Gerade: Sei A ein Punkt auf der Geraden r und v der Richtungsvektor der Geraden. Der Abstand zwischen einem Punkt P und der Geraden r ist gegeben durch: dist(P, r) = |AP x v| / |v|.

Abstand zwischen Punkt und Ebene: Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene ax + by + cz + d = 0 ist gegeben durch |ax + by + cz + d| / √(a² + b² + c²).

Lagebeziehung zweier Geraden: Zwei Geraden können parallel sein, sich schneiden oder windschief sein. Um die Lagebeziehung zu bestimmen, kann man die Determinante einer Matrix mit den Koordinaten zweier Punkte und den Richtungsvektoren der Geraden berechnen. Wenn die Determinante 0 ist, schneiden sich die Geraden.

Lagebeziehung zweier Ebenen: Zwei Ebenen können parallel sein, identisch sein oder sich in einer Geraden schneiden. Die Lagebeziehung kann durch den Vergleich der Ränge der Koeffizientenmatrix und der erweiterten Koeffizientenmatrix bestimmt werden.

Lagebeziehung Gerade und Ebene: Eine Gerade kann in einer Ebene liegen, parallel zu einer Ebene sein oder eine Ebene in einem Punkt schneiden. Um die Lagebeziehung zu bestimmen, kann man den Normalenvektor der Ebene und den Richtungsvektor der Geraden betrachten.

Gemeinsame Senkrechte: Um die gemeinsame Senkrechte zweier windschiefer Geraden zu bestimmen, berechnet man zuerst einen Vektor, der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren steht. Dann bildet man zwei Ebenen, die jeweils eine der Geraden und den senkrechten Vektor enthalten. Die Schnittgerade dieser Ebenen ist die gemeinsame Senkrechte.

Ableitungsregeln

• Konstantenregel: D[k * f(x)] = k * D[f(x)]
• Produktregel: D[f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
• Quotientenregel: D[f(x) / g(x)] = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)²
• Potenzregel: D[x^k] = k * x^(k-1); D[f(x)^k] = k * f(x)^(k-1) * f'(x)
• Sinus: D[sin(x)] = cos(x); D[sin(f(x))] = cos(f(x)) * f'(x)
• Kosinus: D[cos(x)] = -sin(x); D[cos(f(x))] = -sin(f(x)) * f'(x)
• Tangens: D[tan(x)] = 1 + tan²(x); D[tan(f(x))] = (1 + tan²(f(x))) * f'(x)
• Exponentialfunktion: D[e^x] = e^x; D[e^(f(x))] = e^(f(x)) * f'(x); D[a^x] = a^x * ln(a); D[a^(f(x))] = a^(f(x)) * ln(a) * f'(x)
• Logarithmus: D[ln(x)] = 1/x; D[ln(f(x))] = 1/f(x) * f'(x); D[log_a(x)] = 1/(x * ln(a)); D[log_a(f(x))] = 1/(f(x) * ln(a)) * f'(x)