Mathematische Operationen mit Wurzeln und Potenzen

Die Zeichenrechte

Multiplikation und Division

(+) × (+) = (+) (+) von (+) = (+)

(+) × (-) = (-) (+) von (-) = (-)

(-) × (+) = (-) (-) von (+) = (-)

(-) × (-) = (+) (-) von (-) = (+)

Arbeiten mit Potenzen

Die Potenzregel für Produkte mit der gleichen Basis:

m = n + m

2² × 2³ = 2⁵

Die Potenzregel für Quotienten mit der gleichen Basis:

n: m = n - m

2⁵ : 2² = 2³

Die Basis für Produkte mit verschiedenen und gleichen Exponenten:

bⁿ = (a × b)ⁿ

2² × 4² = (2 × 4)²

Die Basis für Quotienten mit verschiedenen und gleichen Exponenten:

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ

4² : 3² = (2 : 3)²

Potenzregel für die Potenz von 1:

(N) = m × Aⁿ × m

(3²)⁴ = 3⁸

Genauigkeit und ganze Wurzeln

Eine Wurzel ist genau, wenn die Potenz, die sie angibt, die Menge unter der Wurzel ergibt. Zum Beispiel ist 3 die genaue Quadratwurzel von 9, weil 3² gleich 9 ist. 9 ist die genaue Kubikwurzel von 729, da 9³ gleich 729 ist. Wenn es keine ganze Zahl gibt, die die Potenz des Indexes angibt, ist die Wurzel ungenau oder irrational. So ist die Quadratwurzel von 38 irrational, denn es gibt keine ganze Zahl, die 38² ergibt. Die Wurzeln werden als radikal und ungenau betrachtet. Berechnungen mit Wurzeln sollten zuerst durchgeführt werden. Wenn Sie die Quadratwurzel nicht verstehen, klicken Sie hier. Es funktioniert auf die gleiche Weise mit allen Wurzeln, auch wenn wir in dieser Lektion nur die Quadratwurzel betrachten. Dies funktioniert auch mit Wurzeln dritten, vierten, fünften Grades usw. Wenn Sie addieren oder subtrahieren, haben Sie ein Problem, wenn Sie nichts haben, wie z.B. √5 + √7, können Sie das nicht tun. Dies kann nicht weiter vereinfacht werden. Das einzige, was zu tun ist, den ungefähren Wert der Summe mit Hilfe eines Taschenrechners zu finden. Das gleiche gilt für die Subtraktion: √3 - √2. Sie können nur die ungefähre Subtraktion als 1.7320508 - 1.414213 durchführen. Was wir tun können, ist, ähnliche Wurzeln mit gleichen Radikanden (Anzahl der Wurzel) zu addieren oder zu subtrahieren. Zum Beispiel: √5 + √5 = 2√5, 12 + 12 = 4√3, 20 + 10 - 20 - 3 = 13√20. Und natürlich, wenn Sie addieren oder subtrahieren unter der Wurzel, können Sie berechnen: 15 + 19 = √34. Multiplizieren und dividieren von Wurzeln ist eine sehr unterschiedliche Situation im Vergleich zur Multiplikation und Division. Es gibt Gesetze, die besagen: √a × √b = √(a × b) und √a / √b = √(a / b).

Anstatt also die Multiplikation der Wurzeln, können Sie die Radikanden multiplizieren, indem Sie sie unter der gleichen Wurzel belassen. Oder statt der Aufteilung der Wurzeln, können Sie die Radikanden unter der gleichen Wurzel belassen. Hier sind einige Beispiele:

√5 × √5 × √7 = √35

0,1 × √10 = 1

√(1/4) × √32 = 8

√63 / √7 = √9 = 3.

Viele Male werden diese Gesetze in umgekehrter Reihenfolge verwendet:

√150 = √(25 × 6) = √25 × √6 = 5√6.

34/100 = √34 / √100 = 34/10.

Das Kombinieren der Operationen

Natürlich verbinden die Übungen in Mathematiktexten viele Operationen mit Wurzeln, also müssen Sie viel üben!

5√3 + 17: Fügen Sie zunächst 3 und 17 hinzu. So vereinen Sie alles unter einer Wurzel (Multiplikation des Radikanden). Sie erhalten 100 als Ergebnis, und das Ergebnis ist 10. √3 × 20 / 15: Zunächst multiplizieren Sie 3 × 20. Dann kombinieren Sie alles unter einer Wurzel. Dann haben Sie 60 / 15 unter der Wurzel, oder 4. Nehmen Sie die folgende 2: √4 + 9 + 3 = √13. Das Hinzufügen von 4 + 9 ergibt 13, und die erste Wurzel. Dann können Sie die beiden Wurzeln kombinieren oder addieren, und das Ergebnis ist 4√13.