Matrixoperationen und -typen: Eine umfassende Anleitung

Gauß-Jordan-Verfahren zur Invertierung einer Matrix

Sei $A = (a_{ij})$ eine quadratische Matrix der Ordnung $n$. Um die Inverse von $A$, als $A^{-1}$, zu berechnen, werden die folgenden Schritte durchgeführt:

Schritt 1: Erstellung der erweiterten Matrix

Bilde die $n \times 2n$ Matrix $M = (A | I)$, wobei $A$ in der linken Hälfte von $M$ und die Einheitsmatrix $I$ auf der rechten Seite steht.

Schritt 2: Umformung zur Dreiecksmatrix

Es wird die erste Zeile von $M$ beibehalten und unterhalb des ersten Hauptelementes $a_{11}$ (Pivot) werden Nullen erzeugt. Anschließend werden weitere Operationen durchgeführt, wie im folgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel (Konzeptionell)

Betrachte eine beliebige $3 \times 3$ Matrix.

Schritt 1: Erstellung von $M = (A | I)$.

Schritt 2: Erzeugen von Nullen unterhalb des ersten Pivots.

Der nächste Schritt ist ähnlich, aber diesmal wird das zweite Element auf der Diagonalen als Pivot verwendet, um Nullen darunter zu erzeugen.

Beim letzten Element auf der Diagonalen wird verfahren, indem die Nullen über dem neuen Pivot erzeugt werden. Es ist darauf zu achten, dass als Pivot das letzte Element der Diagonalen von Matrix $A$ verwendet wird, um eine Dreiecksmatrix zu erhalten.

Schritt 3: Umformung zur Diagonalmatrix

Sobald alle Schritte durchgeführt sind, wird die linke Hälfte der Matrix $M$ eine Diagonalmatrix sein. An dieser Stelle muss vorgegangen werden, um die linke Hälfte in die Einheitsmatrix umzuwandeln, falls erforderlich, indem die Zeilen von $M$ durch einen Skalar geteilt werden.

Beispiel (Fortsetzung)

Angenommen, wir wollen die Inverse finden.

Zuerst bauen wir die Matrix $M = (A | I)$.

Die linke Hälfte von $M$ ist dreieckig, was bedeutet, dass $A$ invertierbar ist. Wäre an einer Stelle eine Null auf der Diagonale von $A$ in $M$ entstanden, wäre die Operation fehlgeschlagen ($A$ ist nicht invertierbar).

Dann wird das Element $a_{33}$ als Pivot genommen, um Nullen darüber zu erzeugen, und weiter operiert, bis links eine Diagonalmatrix entsteht.

Da die linke Hälfte nun diagonal ist, sind weitere Schritte nötig. Wir verwandeln die Diagonalmatrix in eine Einheitsmatrix. Dies erfordert die Division der zweiten Reihe durch $-1$ (im Beispiel):

Die Matrix, die sich nun auf der rechten Hälfte von $M$ befindet, ist genau die Inverse von $A$:

Um zu überprüfen, ob das Ergebnis korrekt ist, multiplizieren wir $AA^{-1}$, was die Einheitsmatrix $I$ ergeben sollte.

Probe:

$AA^{-1} = I$

Grundlegende Matrixtypen und -eigenschaften

Zeilenmatrix

Eine Zeilenmatrix wird durch eine einzelne Zeile gebildet.

Spaltenmatrix

Die Spaltenmatrix hat eine einzelne Spalte.

Rechteckige Matrix

Die rechteckige Matrix hat eine unterschiedliche Anzahl von Zeilen und Spalten und ihre Dimension ist $m \times n$.

Quadratische Matrix

Die quadratische Matrix hat die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten.

• Die Elemente der Form $A_{ii}$ sind die Hauptdiagonalelemente.
• Die Sekundärdiagonalelemente haben die Form $i + j = n + 1$.

Nullmatrix

In einer Nullmatrix sind alle Elemente Null.

Obere Dreiecksmatrix

In einer oberen Dreiecksmatrix sind die Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null.

Untere Dreiecksmatrix

In einer unteren Dreiecksmatrix sind die Elemente oberhalb der Hauptdiagonale Null.

Diagonalmatrix

In einer Diagonalmatrix sind alle Elemente oberhalb und unterhalb der Diagonalen gleich Null.

Skalarmatrix

Eine Skalarmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der die Hauptdiagonalelemente gleich sind.

Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der die Hauptdiagonalelemente gleich 1 sind.

Transponierte Matrix

Angesichts einer Matrix $A$ nennt man die transponierte Matrix $A^t$ die Matrix, die durch Vertauschen von Zeilen und Spalten erhalten wird.

• $(A^t)^t = A$
• $(A + B)^t = A^t + B^t$
• $(\lambda \cdot A)^t = \lambda \cdot A^t$
• $(AB)^t = B^t \cdot A^t$

Reguläre Matrix

Eine reguläre Matrix ist eine quadratische Matrix, die eine Inverse besitzt.

Singuläre Matrix

Eine singuläre Matrix hat keine Inverse.

Idempotente Matrix

Eine Matrix $A$ ist idempotent, wenn:

$A^2 = A$.

Involutorische Matrix

Eine Matrix $A$ ist involutorisch, wenn:

$A^2 = I$.

Symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, für die gilt:

$A = A^t$.

Antisymmetrische Matrix oder schiefsymmetrisch

Eine antisymmetrische Matrix oder schiefsymmetrische ist eine quadratische Matrix, für die gilt:

$A = -A^t$.

Orthogonale Matrix

Eine Matrix ist orthogonal, wenn gilt:

$A \cdot A^t = I$.

Matrixaddition

Da zwei Matrizen gleicher Dimension, $A = (a_{ij})$ und $B = (b_{ij})$, gegeben sind, wird die Summe der Matrizen definiert als: $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$. Das bedeutet, dass diese Matrixelemente durch Addition der Elemente der beiden Matrizen erhalten werden, die dieselbe Position einnehmen.

Es gelten folgende Eigenschaften für die Addition:

Eigenschaften:

• Assoziativ: $A + (B + C) = (A + B) + C$
• Kommutativ: $A + B = B + A$
• Neutrales Element (Nullmatrix $0_{m \times n}$): $0 + A = A + 0 = A$
• Symmetrisches Element (gegenüberliegende Matrix $-A$): $A + (-A) = (-A) + A = 0$

Matrixmultiplikation

Zwei Matrizen $A$ und $B$ können multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten von $A$ gleich der Anzahl der Zeilen von $B$ ist.

$M_{m \times n} \cdot N_{n \times p} = M_{m \times p}$

Das Element $c_{ij}$ der Produktmatrix wird durch Multiplikation jedes Elements in Zeile $i$ der Matrix $A$ mit jedem Element der Spalte $j$ der Matrix $B$ und anschließendes Summieren erhalten.

Größe und Eigenschaften von Matrixprodukten

Assoziativität:

$A \cdot (B \cdot C) = (A B) C$

Neutrales Element:

$A \cdot I = A$

Wobei $I$ die Einheitsmatrix der gleichen Ordnung wie die Matrix $A$ ist.

Nicht kommutativ:

$A \cdot B \neq B \cdot A$

Distributivgesetze bezüglich der Addition:

$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$