Matrizen: Determinanten, Eigenschaften und Typen

Determinante einer Matrix und ihre Eigenschaften

Die Determinante einer quadratischen Matrix der Ordnung "n" ist eine reelle Zahl, die sich aus n! Summanden ergibt. Jeder Summand ist ein Produkt von n Faktoren, wobei jeder Faktor aus einer anderen Zeile und Spalte der Matrix stammt. Die Summanden werden positiv oder negativ gewertet, abhängig davon, ob die Permutation der Spaltenindizes (bei fester Zeilenreihenfolge) gerade oder ungerade ist.

Eigenschaften der Determinanten:

1. Die Determinante einer Matrix ist gleich der Determinante ihrer Transponierten.
2. Wenn eine quadratische Matrix eine Zeile (oder Spalte) aus Nullen hat, ist ihre Determinante 0.
3. Wenn man zwei parallele Linien (Zeilen oder Spalten) einer quadratischen Matrix vertauscht, ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
4. Wenn eine quadratische Matrix zwei gleiche parallele Linien hat, ist ihre Determinante 0.
5. Wenn man alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) einer quadratischen Matrix mit derselben Zahl multipliziert, wird die Determinante mit dieser Zahl multipliziert.
6. Wenn eine Matrix zwei proportionale Zeilen oder Spalten hat, ist ihre Determinante 0.
7. Wenn eine Spalte (oder Zeile) einer Matrix als Summe zweier Ausdrücke dargestellt werden kann, kann die Determinante als Summe zweier Determinanten zerlegt werden (Beispiel für Ordnung 3 gegeben).
8. Wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) einer Matrix eine Linearkombination anderer paralleler Linien addiert, ändert sich die Determinante nicht.
9. Wenn eine Zeile (oder Spalte) einer Matrix eine Linearkombination anderer paralleler Linien ist, ist ihre Determinante 0.
10. Die Determinante des Produkts zweier Matrizen ist gleich dem Produkt ihrer Determinanten (|AB| = |A| * |B|).

Adjunkte, Rang und Minoren

Adjunkte:

• Minor einer Matrix: Der Minor eines Elements a_ij einer Matrix A (M_ij) ist die Determinante der Untermatrix, die entsteht, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte von A entfernt.
• Adjunkte: Der Adjunkte eines Elements a_ij ist definiert als A_ij = (-1)^i+j * M_ij. Das Vorzeichen des Adjunkten hängt davon ab, ob die Summe der Zeilen- und Spaltenindizes (i+j) gerade oder ungerade ist.

Rang einer Matrix:

• Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten) der Matrix.
• Der Rang ist auch die maximale Ordnung der Minoren der Matrix, die ungleich Null sind.

Minor einer Matrix (m x n): Ein Minor der Ordnung h einer Matrix ist die Determinante, die aus den gemeinsamen Elementen von h Zeilen und h Spalten gebildet wird (h <= m, h <= n). (Beispiel: 3x2 Matrix).

Inverse Matrix und Lineare Gleichungen

Inverse Matrix: Eine quadratische Matrix, deren Determinante ungleich Null ist, besitzt eine Inverse. Die Inverse Matrix A^-1 erfüllt: A^-1 * A = A * A^-1 = I (wobei I die Einheitsmatrix ist).

Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme:

• Lineare Gleichung: Eine Gleichung ersten Grades mit n Unbekannten.
• Lösung einer Gleichung: Werte für die Unbekannten, die die Gleichung erfüllen.
• Lineares Gleichungssystem: Eine Menge von linearen Gleichungen mit denselben Unbekannten. Das Ziel ist, gemeinsame Lösungen für alle Gleichungen zu finden.
• Äquivalente Systeme: Systeme, die genau die gleichen Lösungen haben.
• Homogenes System: Ein System, bei dem alle unabhängigen Terme (die Terme ohne Variablen) gleich Null sind. Homogene Systeme haben immer mindestens eine Lösung, die triviale Lösung (0, 0, ..., 0).

Arten von Matrizen

• Quadratische Matrix: Gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten (n x n).
• Rechteckige Matrix: Unterschiedliche Anzahl von Zeilen und Spalten (m x n).
• Zeilenmatrix: Nur eine Zeile (1 x n).
• Spaltenmatrix: Nur eine Spalte (m x 1).
• Transponierte Matrix: Zeilen und Spalten werden vertauscht.
• Nullmatrix: Alle Elemente sind Null.
• Diagonalmatrix: Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind Null.
• Dreiecksmatrix: Alle Elemente oberhalb (obere Dreiecksmatrix) oder unterhalb (untere Dreiecksmatrix) der Hauptdiagonalen sind Null.
• Einheitsmatrix (Identitätsmatrix): Eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonalen gleich 1 sind.
• Symmetrische Matrix: Die Elemente sind symmetrisch zur Hauptdiagonalen (a_ij = a_ji).
• Antisymmetrische Matrix: Die Elemente auf der Hauptdiagonalen sind Null, und die Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sind entgegengesetzt (a_ij = -a_ji).