Mengenlehre: Operationen und Eigenschaften

Schnittmenge

Die Schnittmenge ist die Menge aller Elemente, die in allen Mengen enthalten sind.

Beispiele:

• A ∩ C = {a, c}
• B ∩ C = {2, 3}

A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}, C = {a, 2, 3, c, d}

Formal: {x: x ∈ A und x ∈ B}

Differenz

Die Differenz ist die Menge der Elemente, die nicht in den anderen Mengen enthalten sind.

Beispiele:

• A \ B = {a, 1}
• B \ A = {4, 6}

A = {a, b, 1, 2, 3}, B = {b, 3, 4, 6}

Formal: {x: x ∈ A und x ∉ B}

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt ist die Menge aller geordneten Paare (a, b), wobei a aus der Menge A und b aus der Menge B stammt. Die Größe des kartesischen Produkts ist das Produkt der Größen von A und B.

Beispiel:

A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3}

A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)}

Potenzmenge

Die Potenzmenge ist die Menge aller Teilmengen von A.

Beispiel:

A = {a, b, c}

2^A = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Kardinalität

Die Kardinalität einer Menge ist die Anzahl der Elemente in dieser Menge und wird mit |A| bezeichnet.

Beispiel:

A = {Monate des Jahres}

|A| = 12

Multiset

Ein Multiset unterscheidet sich von einer Menge dadurch, dass jedem Element eine Vielfachheit zugeordnet ist, die angibt, wie oft das Element in der Menge enthalten ist.

Beispiel:

A = {a, a, b, b, c} kann auch geschrieben werden als A = {a: 2, b: 2, c: 1}

Relation

Eine Relation ist eine wohldefinierte Menge von geordneten Paaren. Die Menge aller Elemente, die an erster Stelle stehen, wird als Definitionsbereich der Relation bezeichnet. Die Menge der Elemente, die an zweiter Stelle stehen, wird als Wertebereich bezeichnet. Wenn wir eine Relation zwischen den Elementen einer Menge herstellen, gibt es drei grundlegende Eigenschaften: reflexiv, symmetrisch und transitiv.

Sei A = {1, 2, 3}

Reflexiv

Eine Relation ist reflexiv, wenn jedes Element einer Menge mit sich selbst in Relation steht (z.B. ... ist gleich ...).

Beispiel:

A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

Symmetrisch

Eine Relation ist symmetrisch, wenn ein Element mit einem anderen in Relation steht und das zweite Element mit dem ersten in Relation steht (z.B. ... ist so groß wie ...).

Beispiel:

A = {(1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}

Transitiv

Eine Relation ist transitiv, wenn ein Element mit einem anderen in Relation steht, dieses mit einem dritten, und dann das erste Element mit dem dritten in Relation steht (z.B. ... ist größer als ...).

Beispiel:

A = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)}