Methoden der Polynomfaktorisierung

Fall I: Der gemeinsame Faktor

Beim Faktorisieren durch den gemeinsamen Faktor wird ein Term (Monom, Binom oder Trinom) identifiziert, der in allen Gliedern eines Polynoms enthalten ist. Dieser gemeinsame Faktor besteht aus dem größten gemeinsamen Teiler der Koeffizienten und den Variablen mit dem kleinsten Exponenten, die in allen Gliedern vorkommen.

Gemeinsamer Monom-Faktor

Gemeinsamer Polynom-Faktor

Zuerst müssen wir den gemeinsamen Faktor der Koeffizienten und der Variablen (mit dem niedrigsten Exponenten) bestimmen. Dabei ist zu beachten, dass der gemeinsame Faktor nicht nur ein einzelner Term, sondern auch ein Polynom sein kann. Ein Beispiel:

Es wird deutlich, dass sich das Polynom `(x-y)` wiederholt. Dies ist der gemeinsame Faktor. Der andere Faktor ist der Rest des ursprünglichen Polynoms, d.h.:

Die Antwort lautet dann:

In einigen Fällen kann der Faktor 1 verwendet werden, zum Beispiel:

Dies kann umgeschrieben werden als:

Die endgültige Antwort lautet:

Fall II: Faktorisierung durch Gruppierung

Um ein Polynom durch Gruppierung zu faktorisieren, muss man beachten, dass es oft eine gerade Anzahl von Termen gibt, die sich wiederholen oder gruppiert werden können. Ein numerisches Beispiel könnte sein:

Man kann die Terme dann wie folgt gruppieren:

Wendet man den gemeinsamen Faktor an, erhält man:

Fall III: Das perfekte Quadrat-Trinom

Ein perfektes Quadrat-Trinom wird durch drei Terme identifiziert, von denen zwei exakte Quadratwurzeln besitzen. Der dritte Term ist das doppelte Produkt der Wurzeln der beiden anderen Terme. Um ein solches Trinom zu faktorisieren, ordnet man die Terme so an, dass der erste und der dritte Term die Quadratwurzeln enthalten. Anschließend zieht man die Quadratwurzeln aus dem ersten und dritten Term, schreibt sie in eine Klammer, getrennt durch das Vorzeichen des zweiten Terms, und quadriert die gesamte Klammer (das Binom).

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Beispiel 4

Die Anordnung der Terme sieht dann wie folgt aus:

Zieht man die Quadratwurzeln aus dem ersten und letzten Term, gruppiert sie in Klammern, getrennt durch das Vorzeichen des mittleren Terms, und quadriert das Ergebnis, erhalten wir:

Um zu überprüfen, ob die Lösung korrekt ist, muss das doppelte Produkt der Wurzeln (z.B. 20xy) dem mittleren Term des ursprünglichen Trinoms entsprechen. Andernfalls handelt es sich nicht um ein perfektes Quadrat-Trinom.

Fall IV: Die Differenz von Quadraten

Die Differenz von Quadraten wird durch zwei quadratische Terme identifiziert, die durch ein Minuszeichen verbunden sind. Sie wird faktorisiert in zwei Klammern (Binome), die der Form `(a-b)(a+b)` entsprechen, wobei eine Klammer ein Minuszeichen und die andere ein Pluszeichen enthält.

Oder mit allgemeineren geraden Exponenten:

Mithilfe einer Produktnotation kann eine Faktorisierung für beliebige Exponenten definiert werden, die `r+1` Faktoren ergibt.

Beispiel 1

Beispiel 2

Angenommen, r = 2 für dieses Beispiel:

Die Faktorisierung der Differenz von Quadraten erfolgt, indem man die Quadratwurzeln der einzelnen Terme zieht und diese als Produkt von konjugierten Binomen darstellt.

Fall V: Perfektes Quadrat-Trinom durch Ergänzung

Diese Methode wird angewendet, wenn ein Trinom nicht direkt ein perfektes Quadrat ist, aber durch das Hinzufügen und Subtrahieren eines bestimmten Terms dazu gemacht werden kann. Der Wert des ursprünglichen Ausdrucks bleibt dabei unverändert.

Beachten Sie, dass die Klammern "(xy - xy)" eine visuelle Darstellung der Ergänzung sind, die den Wert des Ausdrucks nicht verändert.