OLS-Schätzer: Varianz, Präzision und Partielle Effekte

Die Varianz der OLS-Schätzer und ihre Bedeutung

Es ist wichtig, die Varianz der OLS-Schätzer zu kennen, um ein Maß für die Streuung ihrer Stichprobenverteilung zu haben. Die Größe der Varianz ist in der Praxis entscheidend, da eine größere Varianz zu einer weniger genauen Schätzung führt.

Einfluss der Varianz auf die Schätzgenauigkeit

Eine größere Varianz resultiert in:

• Weniger genauen Schätzungen.
• Größeren Konfidenzintervallen.
• Umfangreicheren Hypothesentests (Kontraste).

Eine größere Varianz führt zu größeren Abweichungen für die OLS-Schätzer (MCO).

Reduzierung des Fehlers und die Rolle der Regressoren

Für eine gegebene abhängige Variable gibt es nur einen Weg, den Fehler zu reduzieren: Man muss der erklärenden Gleichung mehr Variablen hinzufügen.

Die Bedeutung der Variation in $X_j$ und $R^2_{X_j}$

Je größer die Gesamtvarianz in $X_j$ ist, desto kleiner ist die Varianz von $\hat{\beta}_j$. Wenn alle anderen Dinge gleich sind (ceteris paribus), ist es besser, wenn $X_j$ mehr Variation aufweist.

$R^2_{X_j}$ ist der Anteil der Gesamtvariation in $X_j$, der durch andere unabhängige Variablen in der Gleichung erklärt werden kann.

Grundlagen der Multiplen Regression und OLS-Annahmen

Die Nützlichkeit der Ceteris-Paribus-Analyse

Die Ceteris-Paribus-Analyse ist nützlich, weil sie es uns erlaubt, explizit zu kontrollieren, wie verschiedene Faktoren simultan die abhängige Variable beeinflussen. Dies ist wichtig für die Vorhersage und die Erstellung besserer Modelle der abhängigen Variablen, da es die Integration funktionaler Beziehungen ermöglicht.

Wichtige Annahmen des OLS-Modells

Zu den grundlegenden Annahmen gehören:

1. Linearität.
2. Exogenität.
3. Zufallsstichprobe.
4. Keine perfekte Multikollinearität (es existieren keine exakten linearen Beziehungen zwischen den unabhängigen Variablen).

Interpretation der Koeffizienten

Der Koeffizient $\hat{\beta}_0$ (Intercept) ist der Wert, den $Y$ annimmt, wenn alle Regressoren den Wert Null haben. Dieses Ergebnis ist manchmal nicht sinnvoll.

Die geschätzten Koeffizienten ($\hat{\beta}_j$) haben die Interpretation des partiellen Effekts (ceteris paribus).

Partielle Effekte und die Eliminierung von Korrelationen

Eine weitere Möglichkeit, die partielle Wirkung der geschätzten Koeffizienten in einem multiplen Modell zu interpretieren, ist sehr aufschlussreich. Wir betrachten hierfür ein Modell mit zwei Regressoren ($X_1$ und $X_2$).

Der Koeffizient kann wie folgt berechnet werden: [Implizite Formel, die den Rest $r$ verwendet]. Wobei $r$ der Residuum der einfachen Regression von $X_1$ auf $X_2$ mit derselben Stichprobe ist.

Das heißt, $r$ repräsentiert den Teil von $X_1$, der nicht mit $X_2$ korreliert ist. Der Koeffizient misst somit die Beziehung zwischen $Y$ und $X_1$ nach Abzug des Effekts von $X_2$.