Parallele Kräfte, Resultierende & Gleichgewicht

Summe paralleler Kräfte und Bestimmung des Angriffspunkts

Summe der nicht-konkurrierenden parallelen Kräfte: Wenn zwei parallele Kräfte in die gleiche Richtung wirken, ist die Resultierende die Summe ihrer Beträge:

R = F1 + F2

Die Richtung der Resultierenden ist parallel zur Linie der beiden Kräfte und zeigt in dieselbe Richtung wie beide Kräfte. Zur Bestimmung des Punktes P (Angriffspunkt der Resultierenden) gilt das Momentengleichgewicht:

F2 · x = F1 · (d - x)

Dabei ist:

• x der Abstand vom Punkt der Anwendung der Kraft F2 bis zum Punkt P,
• d der Abstand zwischen den beiden Kräften F1 und F2,
• F1 und F2 die Beträge der beiden Kräfte.

Beispiel: Bestimmen Sie die Resultierende und den Punkt P für zwei parallele Kräfte in gleicher Richtung mit F1 = 10 N und F2 = 15 N, getrennt durch d = 5 m.

• Resultierende: R = 15 N + 10 N = 25 N.
• Für den Punkt P: 15 · x = 10 · (5 - x) ⇒ 15x = 50 - 10x ⇒ 25x = 50 ⇒ x = 2 m.
• Das bedeutet: Der Angriffspunkt P liegt 2 m vom Ort der Kraft F2 entfernt und 3 m vom Ort der Kraft F1 (d - x = 3 m). Die Resultierende liegt näher zur größeren Kraft F2.

Gegenläufige parallele Kräfte (entgegengesetzt)

Bei parallelen Kräften mit entgegengesetzter Richtung ist der Betrag der Resultierenden die Differenz der Beträge:

R = |F2 - F1|

Die Richtung der Resultierenden ist die Richtung der größeren Kraft. Die Lage des Angriffspunkts der Resultierenden liegt außerhalb des Segments zwischen den beiden Kräften auf der Seite der größeren Kraft. Für F2 > F1 gilt die Formel für den Abstand x (vom Ort der größeren Kraft F2 bis zum Angriffspunkt):

x = (F1 · d) / (F2 - F1)

Beispiel: Mit den Kräften aus dem vorherigen Beispiel, aber entgegengesetzt gerichtet (F1 = 10 N, F2 = 15 N, d = 5 m):

• Resultierende: R = 15 N - 10 N = 5 N (in Richtung von F2).
• Abstand vom Ort der größeren Kraft: x = (10 · 5) / (15 - 10) = 50 / 5 = 10 m.
• Der Angriffspunkt liegt 10 m von der größeren Kraft F2 entfernt, also 10 m + 5 m = 15 m vom Ort der kleineren Kraft F1.

Gleichgewicht: Translation und Rotation

Übersetzung (Translation): Ein Körper befindet sich im translativen Gleichgewicht, wenn die Vektorsumme aller auf ihn wirkenden Kräfte Null ist:

∑F = 0

Rotation: Ein Körper ist im Rotationsgleichgewicht (Drehmomentgleichgewicht), wenn die Summe aller Momente (Drehmomente) um jeden Punkt Null ist:

∑M = 0

Drehmoment und Kraftpaar

Drehmoment (Moment): Das Drehmoment einer Kraft ist das Produkt aus Kraft und Hebelarm (Abstand der Wirkungslinie der Kraft zum Rotationszentrum). Übliche Formel:

M = F · r

Ein Kraftpaar (Moment) besteht aus zwei gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Kräften, deren Wirkungslinien sich nicht schneiden; sie erzeugen ein reines Drehmoment.

Die Einheit des Moments ist Newtonmeter (N·m).

Beispiel Moment

Am Rand eines Rades wirkt eine Kraft von 3 N. Der Durchmesser des Rades beträgt 40 cm (0,40 m), somit ist der Radius r = 0,20 m. Das Drehmoment ist:

M = F · r = 3 N · 0,20 m = 0,60 N·m

Gewicht, Schwerpunkt und Gleichgewicht des Körpers

Gewicht: Das Gewicht P eines Körpers ist die Kraft, mit der die Erde diesen Körper anzieht. Es zeigt in vertikaler Richtung zum Erdmittelpunkt. Zwischen Gewicht P und Masse m gilt:

P = m · g mit g ≈ 9,8 N/kg

Schwerpunkt: Der Schwerpunkt ist der Punkt, in dem die gesamte Gewichtskraft eines Körpers angreift.

Gleichgewicht eines Körpers auf einer Unterlage

Ein Körper steht stabil (ist im Gleichgewicht), wenn der senkrechte Durchgang durch den Schwerpunkt immer innerhalb der Standfläche (Auflagefläche) bleibt. Man unterscheidet drei Arten von Gleichgewicht:

• stabiles Gleichgewicht: Wird der Körper leicht ausgelenkt, kehrt er in seine ursprüngliche Lage zurück;
• labiles (unstabiles) Gleichgewicht: Nach Auslenkung kehrt der Körper nicht in die Anfangslage zurück;
• indifferentes Gleichgewicht: Der Körper bleibt nach Auslenkung in jeder neuen Lage, d. h. die Lage ändert sich nicht weiter.

Beispiele: Gewicht aus Masse berechnen

Zur Berechnung des Gewichts immer die Masse in SI-Einheiten (Kilogramm) ausdrücken und dann P = m · 9,8 N/kg anwenden.

• a) m = 2 kg ⇒ P = 2 kg · 9,8 N/kg = 19,6 N
• b) m = 0,3 g = 0,0003 kg ⇒ P = 0,0003 kg · 9,8 N/kg = 0,00294 N
• c) m = 4 mg = 0,000004 kg ⇒ P = 0,000004 kg · 9,8 N/kg = 0,0000392 N (3,92·10⁻⁵ N)

Hinweis: In allen Rechnungen wurden bei Bedarf Einheiten umgerechnet und physikalisch korrekte Formeln verwendet. Die Lage des Angriffspunkts der Resultierenden wird stets über das Momentengleichgewicht bestimmt.