Physik: Dynamik-Aufgaben mit Lösungen

Aufgabe 1: Kraftberechnung bei gegebener Masse und Beschleunigung

Ein Körper mit einer Masse von 600 kg wird mit 1,2 m/s² beschleunigt. Welche Kraft treibt ihn an?

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 600 kg
• Beschleunigung (a) = 1,2 m/s²

Lösung:

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt: F = m · a

F = 600 kg · 1,2 m/s² = 720 N

Aufgabe 2: Massenberechnung bei gegebener Kraft und Beschleunigung

Welche Masse muss ein Körper haben, damit er durch eine Kraft von 588 N mit einer Beschleunigung von 9,8 m/s² beschleunigt wird?

Gegebene Werte:

• Kraft (F) = 588 N
• Beschleunigung (a) = 9,8 m/s²

Lösung:

Aus F = m · a folgt m = F / a

m = 588 N / 9,8 m/s² = 60 kg

Aufgabe 3: Beschleunigung bei entgegengesetzten Kräften

Auf einen Körper mit einer Masse von 250 kg wirken zwei Kräfte in entgegengesetzte Richtungen: eine Kraft von 5880 N nach rechts und eine von 5000 N nach links. Was ist die Beschleunigung des Körpers?

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 250 kg
• Kraft rechts (F_rechts) = 5880 N
• Kraft links (F_links) = 5000 N

Lösung:

Die resultierende Kraft (F_res) ist die Differenz der beiden Kräfte:

F_res = F_rechts - F_links

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz gilt: F_res = m · a

Daraus folgt: a = (F_rechts - F_links) / m

a = (5880 N - 5000 N) / 250 kg = 880 N / 250 kg = 3,52 m/s²

Aufgabe 4: Weg und Geschwindigkeit nach einer Minute

Für das vorherige Problem: Nehmen wir an, dass die Kräfte eine Minute lang wirken. Wie weit würde der Körper in dieser Zeit zurücklegen und welche Geschwindigkeit würde er am Ende der Minute erreichen?

Gegebene Werte:

• Beschleunigung (a) = 3,52 m/s² (aus Aufgabe 3)
• Zeit (t) = 1 min = 60 s
• Anfangsgeschwindigkeit (v_i) = 0 m/s (Annahme: Objekt beginnt in Ruhe)

Lösung:

Für den zurückgelegten Weg (d) verwenden wir die Formel:

d = v_i · t + (1/2) · a · t²

d = 0 m/s · 60 s + 0,5 · 3,52 m/s² · (60 s)² = 0 + 0,5 · 3,52 m/s² · 3600 s² = 6336 m

Für die Endgeschwindigkeit (v_f) verwenden wir die Formel:

v_f = v_i + a · t

v_f = 0 m/s + 3,52 m/s² · 60 s = 211,2 m/s

Aufgabe 5: Kraftberechnung bei unbekannter Beschleunigung

Ein Körper von 100 kg fährt 1 km in einer Zeit von 10 s aus der Ruhe. Wenn er sich mit konstanter Beschleunigung bewegt, welche Kraft treibt ihn an?

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 100 kg
• Strecke (d) = 1 km = 1000 m
• Zeit (t) = 10 s
• Anfangsgeschwindigkeit (v_i) = 0 m/s

Lösung:

Die Kraft F = m · a, aber die Beschleunigung (a) ist nicht bekannt. Zuerst berechnen wir die Beschleunigung:

Aus d = v_i · t + (1/2) · a · t² folgt a = 2 · (d - v_i · t) / t²

a = 2 · (1000 m - 0 m/s · 10 s) / (10 s)² = 2 · 1000 m / 100 s² = 20 m/s²

Nun können wir die Kraft berechnen:

F = m · a = 100 kg · 20 m/s² = 2000 N

Aufgabe 6: Seilspannung bei fallendem Aufzug

Ein Aufzug mit einer Masse von 3200 kg fällt mit einer Beschleunigung von 1 m/s². Finden Sie die Spannung im Kabel.

Hinweis: Für dieses Problem ist eine Skizze der Kräfte praktisch unerlässlich.

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 3200 kg
• Beschleunigung (a) = 1 m/s² (nach unten)
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Wenn mehr als eine Kraft auf einen Körper wirkt, muss die resultierende Kraft gefunden werden. Die Kräfte, die auf den Aufzug wirken, sind die Gewichtskraft (mg) nach unten und die Seilspannung (T) nach oben. Da der Aufzug nach unten beschleunigt, ist die Gewichtskraft größer als die Seilspannung.

F_res = m · a = mg - T

Die Gewichtskraft (mg) steht an erster Stelle, da die Bewegung in Richtung von mg erfolgt.

Daraus folgt: T = mg - m · a = m · (g - a)

T = 3200 kg · (9,8 m/s² - 1 m/s²) = 3200 kg · 8,8 m/s² = 28160 N

Aufgabe 7: Seilspannung bei auf- und absteigendem Körper

Ein 2 kg schwerer Körper baumelt am Ende eines Kabels. Berechnen Sie die Spannung, wenn die Beschleunigung a) 5 m/s² nach oben, b) 5 m/s² nach unten beträgt.

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 2 kg
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

a) Beschleunigung nach oben (a = 5 m/s²):

Die resultierende Kraft F_res = m · a = T - mg (Spannung T ist größer als Gewichtskraft mg)

T = m · a + mg = m · (a + g)

T = 2 kg · (5 m/s² + 9,8 m/s²) = 2 kg · 14,8 m/s² = 29,6 N

b) Beschleunigung nach unten (a = 5 m/s²):

Die resultierende Kraft F_res = m · a = mg - T (Gewichtskraft mg ist größer als Spannung T)

T = mg - m · a = m · (g - a)

T = 2 kg · (9,8 m/s² - 5 m/s²) = 2 kg · 4,8 m/s² = 9,6 N

Aufgabe 8: Maximale Beschleunigung beim Herabgleiten am Seil

Berechnen Sie die maximale Beschleunigung, mit der ein Mann von 90 kg an einem Seil herabgleiten kann, das nur eine Last von 735 N halten kann.

Da das Seil maximal 735 N halten kann, wird angenommen, dass dies die maximale Spannung ist, die auf das Seil ausgeübt werden darf.

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 90 kg
• Maximale Seilspannung (T_max) = 735 N
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Die Kräfte, die auf den Mann wirken, sind die Gewichtskraft (mg) nach unten und die Seilspannung (T) nach oben. Da der Mann nach unten gleitet, ist die Gewichtskraft größer als die Seilspannung.

F_res = m · a = mg - T

Daraus folgt: a = (mg - T) / m

a = (90 kg · 9,8 m/s² - 735 N) / 90 kg = (882 N - 735 N) / 90 kg = 147 N / 90 kg = 1,633 m/s²

Aufgabe 9: Atwoodsche Maschine - Beschleunigung und Spannung

An einem Seil, das über eine reibungsfreie Rolle läuft, hängen zwei Massen: 7 kg und 9 kg. Nehmen Sie an, dass keine Reibung vorhanden ist. Berechnen Sie die Beschleunigung und die Spannung im Seil.

Dieses System wird als Atwoodsche Maschine bezeichnet.

Gegebene Werte:

• Masse 1 (m_1) = 7 kg
• Masse 2 (m_2) = 9 kg
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Da m_2 größer ist als m_1, wird Masse m_2 mit der Beschleunigung 'a' nach unten fallen, und Masse m_1 wird mit der gleichen Beschleunigung 'a' nach oben steigen. Wir nehmen an, dass das Seil nicht dehnbar ist.

Für Masse m_1 (nach oben beschleunigt):

T - m_1 · g = m_1 · a (Gleichung 1)

Für Masse m_2 (nach unten beschleunigt):

m_2 · g - T = m_2 · a (Gleichung 2)

Addieren wir die beiden Gleichungen (1) und (2):

(T - m_1 · g) + (m_2 · g - T) = m_1 · a + m_2 · a

m_2 · g - m_1 · g = (m_1 + m_2) · a

(m_2 - m_1) · g = (m_1 + m_2) · a

Daraus folgt die Beschleunigung (a):

a = (m_2 - m_1) · g / (m_1 + m_2)

a = (9 kg - 7 kg) · 9,8 m/s² / (7 kg + 9 kg) = 2 kg · 9,8 m/s² / 16 kg = 19,6 / 16 m/s² = 1,225 m/s²

Die Spannung (T) wird durch Einsetzen der Beschleunigung in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen erhalten. Nehmen wir Gleichung 1:

T = m_1 · a + m_1 · g = m_1 · (a + g)

T = 7 kg · (1,225 m/s² + 9,8 m/s²) = 7 kg · 11,025 m/s² = 77,175 N

Aufgabe 10: Reibungskoeffizienten und Haftreibung

Ein 50 kg schwerer Block liegt auf ebenem Boden. Die minimale horizontale Kraft, die erforderlich ist, um die Bewegung zu initiieren, beträgt 147 N. Die minimale horizontale Kraft, die erforderlich ist, um ihn mit konstanter Geschwindigkeit in Bewegung zu halten, beträgt 98 N. a) Berechnen Sie den Koeffizienten der kinetischen Reibung. b) Was ist die Reibungskraft, wenn eine horizontale Kraft von 49 N auf den Block ausgeübt wird?

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 50 kg
• Minimale Kraft zur Initiierung der Bewegung (F_statisch_max) = 147 N
• Minimale Kraft zur Aufrechterhaltung der Bewegung (F_kinetisch) = 98 N
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

a) Berechnung des Koeffizienten der kinetischen Reibung (μ_k):

Für die Berechnung des Koeffizienten der kinetischen Reibung muss sich das Objekt bewegen. Daher betrachten wir die minimale Kraft, die zur Aufrechterhaltung der Bewegung erforderlich ist.

Die Reibungskraft (f_k) ist gleich der angewandten Kraft (F_kinetisch), wenn die Bewegung konstant ist.

f_k = μ_k · N

Da das Objekt keine vertikale Bewegung hat, ist die Normalkraft (N) gleich der Gewichtskraft (mg).

N = mg = 50 kg · 9,8 m/s² = 490 N

Also: F_kinetisch = μ_k · N

μ_k = F_kinetisch / N = 98 N / 490 N = 0,2

Hinweis: Verwechseln Sie nicht den Buchstaben 'N' für die Normalkraft mit der Einheit 'N' für Newton.

b) Reibungskraft bei einer angewandten Kraft von 49 N:

Wenn eine horizontale Kraft von 49 N angewendet wird, bewegt sich der Block nicht, da die minimale Kraft, die zur Initiierung der Bewegung erforderlich ist, 147 N beträgt (F_statisch_max). In diesem Fall ist die Haftreibungskraft, die auf den Block wirkt, gleich der angewandten Kraft.

Die Haftreibungskraft passt sich der angewandten Kraft an, bis sie den maximalen Wert der Haftreibung (F_statisch_max) erreicht, der zum Starten der Bewegung erforderlich ist.

Da 49 N < 147 N, ist die Reibungskraft = 49 N.

Aufgabe 11: Geschwindigkeit nach 3 Sekunden mit Reibung

Auf einen 50 kg schweren Block, der auf einer horizontalen Fläche liegt, wird 3 Sekunden lang eine Kraft von 196 N ausgeübt. Der Reibungskoeffizient zwischen Block und Boden beträgt 0,25. Finden Sie die Geschwindigkeit, die der Block nach 3 Sekunden erreicht hat.

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 50 kg
• Angewandte Kraft (F) = 196 N
• Zeit (t) = 3 s
• Reibungskoeffizient (μ) = 0,25 (angenommen als kinetischer Reibungskoeffizient, da Bewegung erwartet wird)
• Anfangsgeschwindigkeit (v_i) = 0 m/s (Annahme: Block beginnt in Ruhe)
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Da keine vertikale Bewegung vorliegt, ist die Normalkraft (N) gleich der Gewichtskraft (mg):

N = mg = 50 kg · 9,8 m/s² = 490 N

Die Reibungskraft (f) ist f = μ · N = 0,25 · 490 N = 122,5 N

Die resultierende Kraft (F_res) ist die angewandte Kraft minus die Reibungskraft:

F_res = F - f = F - μ · N = F - μ · mg

Nach dem zweiten Newtonschen Gesetz: F_res = m · a

Daraus folgt: a = (F - μ · mg) / m

a = (196 N - 0,25 · 50 kg · 9,8 m/s²) / 50 kg = (196 N - 122,5 N) / 50 kg = 73,5 N / 50 kg = 1,47 m/s²

Nun berechnen wir die Endgeschwindigkeit (v_f) mit v_f = v_i + a · t:

v_f = 0 m/s + 1,47 m/s² · 3 s = 4,41 m/s

Aufgabe 12: Kraft auf Block bei gekoppeltem System mit Reibung

Auf der Oberfläche eines Tisches liegt ein Block von 25 kg, der durch ein Kabel, das über eine reibungsfreie Rolle läuft, mit einem anderen, vertikal hängenden Körper von 20 kg verbunden ist. Berechnen Sie die konstante Kraft, die auf den 25 kg Block angewendet werden muss, damit das System mit einer Beschleunigung von 1 m/s² beschleunigt wird, wobei der Reibungskoeffizient zwischen Tisch und Block 0,2 beträgt.

Gegebene Werte:

• Masse Block 1 (m_1) = 25 kg
• Masse Block 2 (m_2) = 20 kg
• Beschleunigung (a) = 1 m/s²
• Reibungskoeffizient (μ) = 0,2
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Zuerst betrachten wir die Kräfte, die auf den Körper m_1 (auf dem Tisch) wirken:

Die Normalkraft (N) ist N = m_1 · g

Die Reibungskraft (f) ist f = μ · N = μ · m_1 · g

Die auf m_1 wirkenden Kräfte sind die angewandte Kraft (F), die Seilspannung (T) und die Reibungskraft (f). Die Bewegung erfolgt in Richtung von F.

F - T - f = m_1 · a

F - T - μ · m_1 · g = m_1 · a (Gleichung 1)

Nun betrachten wir die Kräfte, die auf den Körper m_2 (hängend) wirken:

Die Kräfte sind die Gewichtskraft (m_2 · g) nach unten und die Seilspannung (T) nach oben. Die Bewegung erfolgt nach unten.

m_2 · g - T = m_2 · a (Gleichung 2)

Addieren wir die Gleichungen (1) und (2), um T zu eliminieren:

(F - T - μ · m_1 · g) + (m_2 · g - T) = m_1 · a + m_2 · a

F - μ · m_1 · g + m_2 · g = (m_1 + m_2) · a

Daraus folgt die gesuchte Kraft (F):

F = (m_1 + m_2) · a + μ · m_1 · g - m_2 · g

F = (m_1 + m_2) · a + (μ · m_1 - m_2) · g

F = (25 kg + 20 kg) · 1 m/s² + (0,2 · 25 kg - 20 kg) · 9,8 m/s²

F = 45 kg · 1 m/s² + (5 kg - 20 kg) · 9,8 m/s²

F = 45 N + (-15 kg) · 9,8 m/s²

F = 45 N - 147 N = -102 N

Hinweis: Ein negatives Ergebnis für F bedeutet, dass die angenommene Richtung der Kraft F (die den 25 kg Block nach rechts zieht) falsch war, oder dass die Reibung und das hängende Gewicht bereits ausreichen würden, um eine Beschleunigung in die andere Richtung zu erzeugen, die größer ist als die gewünschte 1 m/s². Um die Beschleunigung auf genau 1 m/s² zu reduzieren, müsste eine Kraft von 102 N in die entgegengesetzte Richtung (nach links) wirken.

Aufgabe 13: Beschleunigung bei variabler Seilspannung

Ein Körper von 100 kg hängt am Ende eines Seils. Berechnen Sie die Beschleunigung, wenn die Spannung der Saite a) 125 N, b) 1200 N, c) 980 N beträgt.

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 100 kg
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Die Gewichtskraft des Körpers ist mg = 100 kg · 9,8 m/s² = 980 N.

Die Kräfte, die auf den Körper wirken, sind die Seilspannung (T) nach oben und die Gewichtskraft (mg) nach unten. Die resultierende Kraft F_res = m · a.

Wir können eine allgemeine Formel ableiten, indem wir annehmen, dass die positive Richtung nach oben ist: T - mg = m · a. Daraus folgt: a = (T - mg) / m.

a) Seilspannung (T) = 125 N:

a = (125 N - 980 N) / 100 kg = -855 N / 100 kg = -8,55 m/s²

Da die Beschleunigung negativ ist, fällt der Körper mit einer Beschleunigung von 8,55 m/s² nach unten.

b) Seilspannung (T) = 1200 N:

a = (1200 N - 980 N) / 100 kg = 220 N / 100 kg = 2,2 m/s²

Da die Beschleunigung positiv ist, steigt der Körper mit einer Beschleunigung von 2,2 m/s² nach oben.

c) Seilspannung (T) = 980 N:

a = (980 N - 980 N) / 100 kg = 0 N / 100 kg = 0 m/s²

Da die Beschleunigung 0 m/s² beträgt, bewegt sich der Körper entweder mit konstanter Geschwindigkeit (nach oben oder unten) oder er befindet sich in Ruhe. Beschleunigung bezieht sich auf die Änderung der Geschwindigkeit.

Aufgabe 14: Seilspannung beim Start eines Aufzugs

Der Aufzug einer Mine, der 7840 N wiegt, startet mit einer Beschleunigung von 6 m/s² nach oben. Finden Sie die Spannung im Kabel beim Starten.

Gegebene Werte:

• Gewicht (W) = mg = 7840 N
• Beschleunigung (a) = 6 m/s² (nach oben)
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Zuerst berechnen wir die Masse des Aufzugs:

m = W / g = 7840 N / 9,8 m/s² = 800 kg

Da der Aufzug nach oben beschleunigt, ist die Seilspannung (T) größer als die Gewichtskraft (mg).

T - mg = m · a

T = m · a + mg = m · a + W

T = 800 kg · 6 m/s² + 7840 N = 4800 N + 7840 N = 12640 N

Aufgabe 15: Seilspannung beim Bremsen eines aufsteigenden Körpers

Ein 1500 kg schwerer Körper baumelt am Ende eines Seils und steigt mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s, wenn er beginnt zu stoppen. Der Weg bis zum Stillstand beträgt 3 m. Berechnen Sie die Spannung im Kabel, wenn die Verzögerung konstant ist.

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 1500 kg
• Anfangsgeschwindigkeit (v_i) = 4 m/s (nach oben)
• Endgeschwindigkeit (v_f) = 0 m/s (Stillstand)
• Strecke (d) = 3 m
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Zuerst berechnen wir die Beschleunigung (Verzögerung) mit der Formel:

v_f² = v_i² + 2 · a · d

Daraus folgt: a = (v_f² - v_i²) / (2 · d)

a = [(0 m/s)² - (4 m/s)²] / (2 · 3 m) = -16 m²/s² / 6 m = -2,67 m/s² (gerundet)

Die negative Beschleunigung bedeutet, dass der Körper verzögert wird (nach unten beschleunigt), während er sich nach oben bewegt.

Die Kräfte, die auf den Körper wirken, sind die Seilspannung (T) nach oben und die Gewichtskraft (mg) nach unten. Da der Körper nach oben beschleunigt (oder nach unten verzögert), gilt:

T - mg = m · a

T = m · a + mg = m · (a + g)

T = 1500 kg · (-2,67 m/s² + 9,8 m/s²) = 1500 kg · 7,13 m/s² = 10695 N

Aufgabe 16: Seilspannung bei auf- und absteigendem Aufzug

Die Masse eines Aufzuges beträgt 1200 kg. Finden Sie die Spannung in den Kabeln, wenn a) er mit einer Beschleunigung von 1 m/s² nach oben fährt, b) er mit einer Beschleunigung von 1 m/s² nach unten fällt.

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 1200 kg
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

a) Beschleunigung nach oben (a = 1 m/s²):

Die resultierende Kraft F_res = m · a = T - mg

T = m · a + mg = m · (a + g)

T = 1200 kg · (1 m/s² + 9,8 m/s²) = 1200 kg · 10,8 m/s² = 12960 N

b) Beschleunigung nach unten (a = 1 m/s²):

Die resultierende Kraft F_res = m · a = mg - T

T = mg - m · a = m · (g - a)

T = 1200 kg · (9,8 m/s² - 1 m/s²) = 1200 kg · 8,8 m/s² = 10560 N

Aufgabe 17: Kraft auf den Boden im Aufzug

Ein 80 kg schwerer Mann befindet sich in einem Aufzug, der mit einer gleichmäßigen Beschleunigung von 1 m/s² abwärts fährt. Berechnen Sie die Kraft, die der Mann auf den Aufzugsboden ausübt. Berechnen Sie dasselbe, wenn der Aufzug mit der gleichen Beschleunigung aufwärts fährt.

Gegebene Werte:

• Masse (m) = 80 kg
• Beschleunigung (a) = 1 m/s²
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Die Kraft, die die Person auf den Aufzugsboden ausübt, ist gleich der Normalkraft (N), die der Boden auf die Person ausübt (nach dem dritten Newtonschen Gesetz). Diese Normalkraft ist die scheinbare Gewichtskraft der Person.

a) Aufzug fährt abwärts (a = 1 m/s²):

Die Kräfte auf den Mann sind die Normalkraft (N) nach oben und die Gewichtskraft (mg) nach unten. Da der Aufzug nach unten beschleunigt, ist die Gewichtskraft größer als die Normalkraft.

F_res = m · a = mg - N

N = mg - m · a = m · (g - a)

N = 80 kg · (9,8 m/s² - 1 m/s²) = 80 kg · 8,8 m/s² = 704 N

b) Aufzug fährt aufwärts (a = 1 m/s²):

Die Kräfte auf den Mann sind die Normalkraft (N) nach oben und die Gewichtskraft (mg) nach unten. Da der Aufzug nach oben beschleunigt, ist die Normalkraft größer als die Gewichtskraft.

F_res = m · a = N - mg

N = m · a + mg = m · (a + g)

N = 80 kg · (1 m/s² + 9,8 m/s²) = 80 kg · 10,8 m/s² = 864 N

Aufgabe 18: Atwoodsche Maschine mit neuen Massen

Von den Enden eines Seils, das über eine reibungsfreie Rolle läuft, hängen zwei Lasten von 2 kg und 6 kg. Berechnen Sie die Beschleunigung und die Spannung im Seil.

Diese Übung ist ähnlich wie Aufgabe 9 (Atwoodsche Maschine).

Gegebene Werte:

• Masse 1 (m_1) = 2 kg
• Masse 2 (m_2) = 6 kg
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Verwenden der Formeln aus Aufgabe 9:

a = (m_2 - m_1) · g / (m_1 + m_2)

a = (6 kg - 2 kg) · 9,8 m/s² / (2 kg + 6 kg) = 4 kg · 9,8 m/s² / 8 kg = 39,2 / 8 m/s² = 4,9 m/s²

T = m_1 · (a + g)

T = 2 kg · (4,9 m/s² + 9,8 m/s²) = 2 kg · 14,7 m/s² = 29,4 N

Aufgabe 19: Seilspannung im beschleunigenden Aufzug

Ein Aufzug fährt nach oben und beginnt mit einer konstanten Beschleunigung. Er steigt in 0,8 Sekunden um 1 m. Darin befindet sich ein Mann mit einem Paket von 3 kg, das an einem seidenen Faden hängt. Finden Sie die Spannung im Faden.

Gegebene Werte:

• Zeit (t) = 0,8 s
• Strecke (d) = 1 m
• Anfangsgeschwindigkeit (v_i) = 0 m/s (Aufzug beginnt aus der Ruhe)
• Masse des Pakets (m) = 3 kg
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Da der Aufzug nach oben beschleunigt, beschleunigt alles darin auf die gleiche Weise. Zuerst berechnen wir die Beschleunigung des Aufzugs:

d = v_i · t + (1/2) · a · t²

Daraus folgt: a = 2 · (d - v_i · t) / t²

a = 2 · (1 m - 0 m/s · 0,8 s) / (0,8 s)² = 2 m / 0,64 s² = 3,125 m/s²

Nun berechnen wir die Spannung (T) im Faden des Pakets. Da das Paket nach oben beschleunigt, ist die Spannung größer als die Gewichtskraft.

T - mg = m · a

T = m · a + mg = m · (a + g)

T = 3 kg · (3,125 m/s² + 9,8 m/s²) = 3 kg · 12,925 m/s² = 38,775 N

Aufgabe 20: Mittlere Kraft beim Fallschirmöffnen

Ein 70 kg schwerer Fallschirmspringer wird frei in den Raum freigegeben und öffnet seinen Fallschirm 5 Sekunden nach dem Start aus der Ruhe. Der Fallschirm öffnet sich vollständig in 0,8 Sekunden, und die Geschwindigkeit sinkt auf 12 m/s bei voller Öffnung. Berechnen Sie die mittlere Kraft, die auf die Leinen des Fallschirms ausgeübt wird.

Hinweis: Die Formulierung „wenn sie Gewicht fehlt“ im Originaldokument ist unklar. Für die Berechnung der Seilspannung, die den Fallschirmspringer hält, muss dessen Gewichtskraft berücksichtigt werden. Die Berechnung erfolgt unter Einbeziehung der Gewichtskraft.

Gegebene Werte:

• Masse des Fallschirmspringers (m) = 70 kg
• Anfangsgeschwindigkeit (v_i_fall) = 0 m/s (Start aus der Ruhe)
• Zeit des freien Falls (t_fall) = 5 s
• Zeit für Fallschirmöffnung (t_open) = 0,8 s
• Endgeschwindigkeit nach Öffnung (v_f_open) = 12 m/s
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Zuerst berechnen wir die Geschwindigkeit des Fallschirmspringers am Ende des freien Falls (nach 5 Sekunden), bevor der Fallschirm zu öffnen beginnt. Dies ist die Anfangsgeschwindigkeit für den Öffnungsvorgang.

v_i_open = g · t_fall = 9,8 m/s² · 5 s = 49 m/s

Während der Fallschirmöffnung erfährt der Springer eine starke Verzögerung. Wir berechnen die mittlere Beschleunigung während dieser 0,8 Sekunden:

a = (v_f_open - v_i_open) / t_open

a = (12 m/s - 49 m/s) / 0,8 s = -37 m/s / 0,8 s = -46,25 m/s²

Die negative Beschleunigung bedeutet, dass die Beschleunigung nach oben gerichtet ist (Verzögerung der Abwärtsbewegung). Die Kraft der Fallschirmleinen (T) muss die Gewichtskraft überwinden und zusätzlich die Verzögerung bewirken.

T - mg = m · |a| (wobei |a| der Betrag der Beschleunigung ist, die nach oben wirkt)

T = mg + m · |a| = m · (g + |a|)

T = 70 kg · (9,8 m/s² + 46,25 m/s²) = 70 kg · 56,05 m/s² = 3923,5 N

Aufgabe 21: Weg bei gekoppeltem System mit Reibung

Ein 50 kg schwerer Block liegt auf einer horizontalen Fläche und bewegt sich durch die Aktion eines Seils parallel zur Oberfläche, dessen anderes Ende über eine reibungsfreie Rolle mit einem frei hängenden 12 kg schweren Körper verbunden ist. Der Reibungskoeffizient beträgt 0,2. Berechnen Sie den Weg, den der erste Körper in 10 Sekunden nach Beginn der Bewegung zurücklegt.

Gegebene Werte:

• Masse Block 1 (m_1) = 50 kg
• Masse Block 2 (m_2) = 12 kg
• Reibungskoeffizient (μ) = 0,2
• Zeit (t) = 10 s
• Anfangsgeschwindigkeit (v_i) = 0 m/s (Annahme: System beginnt in Ruhe)
• Erdbeschleunigung (g) = 9,8 m/s²

Lösung:

Zuerst berechnen wir die Beschleunigung des Systems.

Für den Block m_1 (auf der horizontalen Fläche):

Die Normalkraft (N) ist N = m_1 · g

Die Reibungskraft (f) ist f = μ · N = μ · m_1 · g

Die Kräfte auf m_1 sind die Seilspannung (T) nach rechts und die Reibungskraft (f) nach links.

T - f = m_1 · a

T - μ · m_1 · g = m_1 · a (Gleichung 1)

Für den hängenden Körper m_2:

Die Kräfte auf m_2 sind die Gewichtskraft (m_2 · g) nach unten und die Seilspannung (T) nach oben.

m_2 · g - T = m_2 · a (Gleichung 2)

Addieren wir die Gleichungen (1) und (2), um T zu eliminieren:

(T - μ · m_1 · g) + (m_2 · g - T) = m_1 · a + m_2 · a

m_2 · g - μ · m_1 · g = (m_1 + m_2) · a

Daraus folgt die Beschleunigung (a):

a = (m_2 · g - μ · m_1 · g) / (m_1 + m_2)

a = g · (m_2 - μ · m_1) / (m_1 + m_2)

a = 9,8 m/s² · (12 kg - 0,2 · 50 kg) / (50 kg + 12 kg)

a = 9,8 m/s² · (12 kg - 10 kg) / 62 kg

a = 9,8 m/s² · 2 kg / 62 kg = 19,6 / 62 m/s² = 0,316 m/s² (gerundet)

Nun berechnen wir den zurückgelegten Weg (d) mit d = v_i · t + (1/2) · a · t²:

d = 0 m/s · 10 s + 0,5 · 0,316 m/s² · (10 s)²

d = 0 + 0,5 · 0,316 m/s² · 100 s² = 15,8 m