Physik: Kinematik - Gleichförmige und beschleunigte Bewegungen

Gleichförmige Bewegung (MU)

Die Strecke $D$ ist die Differenz zwischen der Endposition ($e_{Ende}$) und der Anfangsposition ($e_{Anfang}$):

$D = |e_{Ende} - e_{Anfang}|$

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ($v_m$) ergibt sich aus:

$v_m = D / t$

Die Position ($e$) über die Zeit ($t$) wird beschrieben durch:

$e = e_0 + v \cdot t$

• Im $e/t$-Diagramm ist die Linie gerade und geneigt.
• Im $v/t$-Diagramm ist die Linie eine gerade Linie ohne Neigung (konstante Geschwindigkeit).

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (MUA)

Die Beschleunigung ($a$) ist definiert als:

$a = \frac{v_{Ende} - v_0}{t}$

Die Endgeschwindigkeit ($v$) ergibt sich aus:

$v = v_0 + a \cdot t$

Die Position ($e$) über die Zeit ($t$) wird beschrieben durch:

$e = e_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$

Die zeitunabhängige Formel lautet:

$v^2 - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot \Delta e$ (wird verwendet, wenn die Variable $t$ nicht bekannt ist).

• Im $e/t$-Diagramm müssen die Linien gekrümmt sein.
• Im $v/t$-Diagramm sollten die Linien gerade und geneigt sein.

Bewegung im freien Fall

Allgemeine Prinzipien

Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung unter dem Einfluss der Erdbeschleunigung ($g$).

Start von Ruhe (Ausgangsgeschwindigkeit $v_0 = 0$)

• $v_0 = 0$
• $a = g = 9,8 \text{ m/s}^2$ (Betrag)
• $v < 0$ (wenn die positive Richtung nach oben definiert ist)

Wurf nach oben (Startgeschwindigkeit $v_0 < 0$)

• $v_0 < 0$
• $g = -9,8 \text{ m/s}^2$ (Beschleunigung wirkt nach unten)
• Bei Erreichen der maximalen Höhe gilt: $v = 0$
• Die Steigzeit ($t_{Steig}$) entspricht der Fallzeit ($t_{Fall}$).
• Die Geschwindigkeit beim Aufprall auf dem Boden ist betragsmäßig gleich der Anfangsgeschwindigkeit ($|v_{Boden}| = |v_0|$).

Wurf nach unten (Startgeschwindigkeit $v_0 > 0$ oder $v_0 < 0$ je nach Definition)

Anmerkung: Die ursprüngliche Notation war inkonsistent. Wir nehmen an, dass $v_0$ die Anfangsgeschwindigkeit ist und $g$ die konstante Beschleunigung.

• Wenn $v_0$ nach oben gerichtet ist: $v_0 > 0$ und $g = -9,8 \text{ m/s}^2$.
• Wenn $v_0$ nach unten gerichtet ist: $v_0 < 0$ und $g = -9,8 \text{ m/s}^2$.

Die Gleichungen (mit $g = -9,8 \text{ m/s}^2$ für den Wurf nach oben)

Position:

$e = e_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} g \cdot t^2$

Geschwindigkeit (Fehlerkorrektur der ursprünglichen Formel):

$v_f = v_0 + g \cdot t$

Stellen Sie das Kriterium der Zeichen dafür sicher, dass $t$ niemals negativ sein darf.

Einheitenumrechnung

• $ ext{km/h} \cdot \frac{1000}{3600} = \text{m/s}$
• $ ext{m/s} \cdot \frac{3600}{1000} = \text{km/h}$

Gleichförmige Kreisbewegung (MCU)

Dies ist eine Bewegung, deren Bahn kreisförmig ist und die gleiche Winkel in gleichen Zeiten überstreicht. Daher ist die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) konstant.

Einheiten

Der zurückgelegte Winkel ($\Delta \varphi$) wird in Grad ($\circ$) oder Bogenmaß ($\text{rad}$) gemessen (SI-Einheit ist $\text{rad}$).

Winkelgeschwindigkeit ($\omega$): $\text{Grad/s}$, $\text{Umdrehungen/s}$ ($ ext{U/s}$), $\text{rpm}$ (U/min), $\text{rps}$ ($ ext{U/s}$), $\text{rad/s}$ (SI).

Umrechnung:

$1 \text{ Runde} = 1 \text{ Umdrehung} = 360 \text{ Grad} = 2 \pi \text{ rad}$

Definition der Winkelgeschwindigkeit:

$\omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t}$

Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit ($v$) und Winkelgeschwindigkeit ($\omega$):

$v = \omega \cdot r$ (wobei $r$ der Radius ist)

Beschleunigung bei Kreisbewegung

Die Gesamtbeschleunigung ($\vec{a}$) kann in zwei Komponenten zerlegt werden: Tangentialbeschleunigung ($\vec{a}_t$) und Radial-/Zentripetalbeschleunigung ($\vec{a}_n$).

$\vec{v}$ ist ein Vektor, definiert durch seinen Betrag (Modul), seine Richtung und seinen Sinn.

Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit über die Zeit. Diese Änderung kann die Größe oder die Richtung von $\vec{v}$ bewirken.

Tangentialbeschleunigung ($\vec{a}_t$)

Tritt auf, wenn sich der Betrag von $v$ ändert (die Bewegung ist nicht gleichförmig).

• Richtung: Tangential zur Bahn.
• Betrag: $|a_t| = \frac{|\Delta v|}{\Delta t}$
• Wenn $v$ zunimmt, ist $a_t$ gleichsinnig mit $v$; wenn $v$ abnimmt, ist $a_t$ entgegengesetzt.

Radialbeschleunigung ($\vec{a}_n$)

Tritt auf, wenn sich die Richtung von $\vec{v}$ ändert (notwendig für jede Kreisbewegung).

• Richtung: Immer zum Mittelpunkt der Kurve gerichtet.
• Betrag: $a_n = \frac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r$

Zusammenfassung der Bewegungsarten

Die beiden Beschleunigungen sind Komponenten der Gesamtbeschleunigung $\vec{a}$.

• Wenn $a_t = 0$ und $a_n = 0 \implies$ Gleichförmige geradlinige Bewegung (MRU)
• Wenn $a_t \neq 0$ und $a_n = 0 \implies$ Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung (MRUA)
• Wenn $a_t = 0$ und $a_n \neq 0 \implies$ Gleichförmige Kreisbewegung (MCU)

Zusammenhang zwischen linearen und Winkelgrößen

$e = \varphi \cdot r$ (Verbindung zwischen Weg ($e$) und Winkel ($\varphi$))

Periode (T)

Die gleichförmige Kreisbewegung ist eine periodische Bewegung, da sie sich nach einer bestimmten Zeit wiederholt.

Periode ($T$): Die Zeit, die benötigt wird, um einen vollständigen Umlauf zu vollziehen.

$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{s^{-1}}$

Frequenz (f)

Frequenz ($f$): Die Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit, üblicherweise pro Sekunde.

$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{s} = s^{-1} \text{ (Hertz, Hz im SI-System)}$