Physik des Schalls: Wellenphänomene und Akustikgrundlagen
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Einleitung: Grundlagen des Schalls
Die Akustik ist der Teil der Physik, der sich mit der Erzeugung, Ausbreitung und Wahrnehmung von Schall beschäftigt. Eine Schallwelle ist eine Druckwelle, die sich nur durch materielle Medien (Gase, Flüssigkeiten, Festkörper) ausbreiten kann. Dies geschieht durch lokale Druck- und Dichteschwankungen des Mediums.
Jeder Klang oder jedes Schallereignis wird durch verschiedene Parameter charakterisiert:
- Amplitude: Die maximale Auslenkung oder Druckschwankung.
- Frequenz (f): Die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde, gemessen in Hertz (Hz).
- Wellenlänge (λ): Der räumliche Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenbergen oder -tälern.
- Ausbreitungsgeschwindigkeit (c): Die Geschwindigkeit, mit der sich die Welle im Medium fortbewegt.
Die Druckschwankungen in einer Schallwelle sind im Vergleich zum atmosphärischen Druck sehr gering und werden oft in Dezibel (dB) ausgedrückt.
Die Frequenz ermöglicht eine Klassifizierung des Schalls:
- Hörbarer Schall: 20 Hz bis 20.000 Hz
- Infraschall: Frequenzen unter 20 Hz
- Ultraschall: Frequenzen über 20.000 Hz
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls hängt stark von den mechanischen Eigenschaften des Mediums ab (z.B. Dichte, Elastizität). Die Beziehung zwischen diesen Größen ist gegeben durch die Wellengleichung:
λ = c / f
Scherwellengeschwindigkeit in einer gespannten Saite
Betrachten wir eine gespannte Saite der Länge L, die an ihren Enden mit einer konstanten Zugkraft T₀ beaufschlagt wird. Wenn sich eine transversale Welle (Scherwelle) entlang der Saite ausbreitet, bewegen sich die Saitenelemente senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (z.B. in y-Richtung, während die Welle sich in x-Richtung ausbreitet).
Die resultierende Querkraft dFy auf ein kleines Saitenelement dx ist die Differenz der y-Komponenten der Zugkräfte an seinen Enden. Für kleine Auslenkungen und Winkel können wir die Kraftbeziehungen und das 2. Newtonsche Gesetz anwenden. Die lineare Massendichte der Saite sei μ = m/L.
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ct einer transversalen Welle in einer gespannten Saite ist gegeben durch:
ct = √(T₀ / μ)
Eine ebene transversale Welle, die sich entlang der x-Achse ausbreitet, kann durch die Gleichung beschrieben werden:
y(x,t) = A sin(ω(t - x/ct))
wobei A die Amplitude und ω die Kreisfrequenz ist.
Longitudinalwellengeschwindigkeit in einem Stab
In einem elastischen Material, wie einem Stab, verursacht eine Longitudinalwelle eine elastische Verformung, die dem Hookeschen Gesetz folgt. Die Teilchen des Mediums schwingen hierbei parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle.
Die Zugspannung (σ) ist proportional zur Dehnung (ε):
σ = Fx/A = E ⋅ ε
Hierbei ist Fx die Kraft, A die Querschnittsfläche und E der Elastizitätsmodul (Young-Modul) des Materials. Die Dehnung ε ist definiert als ΔL / L₀, wobei ΔL die Längenänderung und L₀ die ursprüngliche Länge ist. Für eine kleine Längenänderung du über eine Strecke dx ist ε = du/dx.
Durch Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes und der Beziehung zwischen Spannung und Dehnung ergibt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit cls einer Longitudinalwelle in einem festen Stab:
cls = √(E / ρ)
wobei ρ die Dichte des Materials ist.
Die Gleichung einer solchen Welle ist:
u(x,t) = A sin(ω(t - x/cls))
Longitudinalwellen in Fluiden
In Fluiden (Flüssigkeiten und Gasen) ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Longitudinalwellen (Schallwellen) gegeben durch:
clf = √(K / ρ)
wobei K der Kompressionsmodul (oder Volumenelastizitätsmodul) des Fluids und ρ dessen Dichte ist.
Druckwellen und stehende Schallwellen
Schallwellen sind Druckwellen. Wenn eine Schallwelle auf ein Hindernis trifft, kann sie reflektiert werden. Die Überlagerung einer einfallenden und einer reflektierten Welle gleicher Frequenz und Amplitude, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten, führt zur Bildung einer stehenden Welle.
Die Gleichungen für die einfallende (dpi) und reflektierte (dpr) Druckwelle können geschrieben werden als:
- dpi = A sin(2πf(t - x/c))
- dpr = A sin(2πf(t + x/c))
Die resultierende Druckwelle (dp) ist die Summe dieser beiden:
dp(x,t) = 2A cos(2πfx/c) sin(2πft)
Die Amplitude der resultierenden stehenden Welle ist AR = 2A cos(2πx/λ).
In einer stehenden Druckwelle gibt es:
- Druckmaxima (Bäuche): An Positionen xVp = k ⋅ (λ/2), wobei k = 0, 1, 2, ...
- Druckminima (Knoten): An Positionen xNp = (2k + 1) ⋅ (λ/4), wobei k = 0, 1, 2, ...
Die Teilchenverschiebung (u) in einer stehenden Welle kann aus der Druckwellengleichung abgeleitet werden, da Druck und Verschiebung um 90 Grad phasenverschoben sind. An einem Druckknoten ist die Verschiebung maximal (Verschiebungsbauch), und an einem Druckbauch ist die Verschiebung minimal (Verschiebungsknoten).
Die Geschwindigkeit jedes einzelnen Teilchens (v) ist die zeitliche Ableitung der Verschiebung:
v(x,t) = ∂u/∂t = -2Aω sin(2πx/λ) cos(2πft)
Schall in Rohren und Resonanz
Rohre können als Resonatoren dienen und musikalisch nutzbare Töne erzeugen. Die Resonanzfrequenzen in Rohren hängen von ihrer Länge und den Randbedingungen an den Enden ab (offen oder geschlossen).
Im Inneren eines Rohres bildet sich eine stehende Welle durch die Überlagerung von Wellen, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten. Die allgemeine Form der Verschiebungswelle für eine stehende Welle ist:
u(x,t) = 2A cos(2πfx/c) sin(2πft)
Offene Rohre
Ein offenes Rohr ist an beiden Enden offen. An einem offenen Ende ist der Druck gleich dem Außendruck, was einem Druckknoten und somit einem Verschiebungsbauch entspricht. Die Bedingung für stehende Wellen in einem offenen Rohr der Länge La ist, dass die Länge ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge sein muss:
La = k ⋅ (λ/2), wobei k = 1, 2, 3, ...
Daraus ergeben sich die Resonanzfrequenzen:
fk = k ⋅ c / (2La)
Ein offenes Rohr emittiert Frequenzen, die Vielfache der Grundfrequenz (k=1) sind (alle Harmonischen).
Geschlossene Rohre
Ein geschlossenes Rohr ist an einem Ende geschlossen und am anderen offen. Am geschlossenen Ende ist die Teilchenverschiebung Null (Verschiebungsknoten), während am offenen Ende ein Verschiebungsbauch (Druckknoten) vorliegt. Die Bedingung für stehende Wellen in einem geschlossenen Rohr der Länge Lc ist, dass die Länge ein ungerades Vielfaches eines Viertels der Wellenlänge sein muss:
Lc = (2k - 1) ⋅ (λ/4), wobei k = 1, 2, 3, ...
Daraus ergeben sich die Resonanzfrequenzen:
fk = (2k - 1) ⋅ c / (4Lc)
Ein geschlossenes Rohr emittiert nur ungerade Vielfache der Grundfrequenz (ungerade Harmonische).
Schallintensität
Die Schallintensität (I) ist ein Maß für die Schallenergie, die pro Zeiteinheit durch eine Flächeneinheit senkrecht zur Ausbreitungsrichtung strömt. Sie wird in Watt pro Quadratmeter (W/m²) gemessen.
Die Intensität ist proportional zum Quadrat der Druckamplitude (Δp) und umgekehrt proportional zur akustischen Impedanz (ρc):
I = (Δp)² / (2ρc)
wobei ρ die Dichte des Mediums und c die Schallgeschwindigkeit ist.
Der Schallpegel (LI) wird in Dezibel (dB) angegeben und ist definiert als:
LI = 10 log₁₀ (I / I₀)
Hierbei ist I₀ die Referenzintensität, die der Hörschwelle des menschlichen Ohres entspricht (typischerweise 10⁻¹² W/m²).
Der Doppler-Effekt
Der Doppler-Effekt beschreibt die wahrgenommene Frequenzänderung einer Welle, wenn sich die Schallquelle und/oder der Beobachter relativ zueinander bewegen. Wenn sich die Quelle und der Beobachter aufeinander zubewegen, wird eine höhere Frequenz wahrgenommen; bewegen sie sich voneinander weg, wird eine niedrigere Frequenz wahrgenommen.
Dieser Effekt ist nicht nur bei Schallwellen, sondern auch bei Lichtwellen und anderen Wellenphänomenen zu beobachten und findet Anwendung in vielen Bereichen, wie z.B. der Radartechnik oder der medizinischen Diagnostik.