Physikalische Grundlagen: Vektoren, Kinematik & Newtons Gesetze
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Skalarprodukt
Das Ergebnis der Multiplikation zweier Vektoren a und b ist die Zahl k. Sie wird durch die Multiplikation der Beträge der Vektoren und des Kosinus des Winkels zwischen ihnen erhalten. Die notwendige Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Vektoren ist, dass ihr Skalarprodukt null ist.
Das Skalarprodukt kann durch die Formel A ⋅ B = |A| |B| cos(α) ausgedrückt werden. Wenn wir nach dem Winkel auflösen, ergibt sich: cos(α) = (A ⋅ B) / (|A| |B|).
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Ergebnis der Multiplikation zweier Vektoren a und b ist ein neuer Vektor, dessen Eigenschaften sind:
Eigenschaften des Vektorprodukts
- Betrag: |a × b| = |a| |b| sin(α)
- Richtung: Senkrecht zur Ebene, die von a und b aufgespannt wird.
- Orientierung (Sinn): Ergibt sich aus der Anwendung der „Rechte-Hand-Regel“.
Vektor: Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung
Positionsvektor
Die Position eines Körpers kann auf zwei verschiedene Arten angegeben werden: durch kartesische Koordinaten (x, y) oder durch polare Koordinaten (r, φ).
Der Positionsvektor eines Körpers relativ zu einem Bezugspunkt ist der Vektor, der vom Bezugspunkt zum Ort des Körpers zeigt. Er wird in Metern (m) gemessen.
Geschwindigkeitsvektor
Die Geschwindigkeit ist definiert als die Änderungsrate des Ortsvektors eines Körpers. Der Geschwindigkeitsvektor hat die gleiche Richtung und den gleichen Sinn wie die Verschiebung. Er gibt die Richtung und den Sinn der Bewegung an und wird in Metern pro Sekunde (m/s) gemessen.
Momentangeschwindigkeit
Die Momentangeschwindigkeit ist definiert als die Grenzgeschwindigkeit, wenn das Zeitintervall gegen null geht. Sie wird durch Differenzieren der Positionsgleichung erhalten. Der Vektor der Momentangeschwindigkeit ist tangential zur Flugbahn an jedem Punkt und zeigt in Richtung der Bewegung.
Beschleunigungsvektor
Die Beschleunigung eines Körpers misst, wie schnell sich seine Geschwindigkeit ändert. Die Einheit ist Meter pro Sekunde im Quadrat (m/s²).
Momentanbeschleunigung
Sie ist der Grenzwert der Beschleunigung, wenn das Zeitintervall praktisch gegen null geht.
Intrinsische Komponenten der Beschleunigung
Tangentialbeschleunigung
Die Tangentialbeschleunigung (at) bewirkt nur Änderungen im Betrag der Geschwindigkeit. Sie kann wie folgt definiert werden:
- Betrag: Entspricht der Änderungsrate des Betrags der Geschwindigkeit.
- Richtung: Tangential zur Flugbahn am jeweiligen Punkt.
- Orientierung (Sinn): In Bewegungsrichtung, wenn der Betrag der Geschwindigkeit zunimmt, und entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung, wenn der Betrag der Geschwindigkeit abnimmt.
Zentripetalbeschleunigung
Die Zentripetalbeschleunigung (ac) tritt bei krummlinigen Bewegungen auf und bewirkt nur Änderungen in der Richtung der Geschwindigkeit, ohne deren Betrag zu beeinflussen. Sie hat folgende Eigenschaften:
- Betrag: ac = v² / r (Geschwindigkeit im Quadrat geteilt durch den Krümmungsradius).
- Richtung: Radial, immer zum Mittelpunkt der beschriebenen Kurve gerichtet.
Gleichförmige geradlinige Bewegung (MRU)
Gleichungen und Graphen
Die Bewegungsgleichung für die gleichförmige geradlinige Bewegung lautet:
x = x0 ± vt
Dabei bedeutet ein positives Vorzeichen, dass sich der Körper vom Bezugspunkt wegbewegt, und ein negatives Vorzeichen, dass er sich in die entgegengesetzte Richtung bewegt.
Graphen:
(Hier würden die Graphen für Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt werden.)
Gleichförmig beschleunigte geradlinige Bewegung (MRUA)
Gleichungen und Graphen
Die Gleichung für die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit bei gleichförmig beschleunigter geradliniger Bewegung lautet:
v = v0 + at
Die allgemeine Gleichung für die Position als Funktion der Zeit bei gleichförmig beschleunigter geradliniger Bewegung lautet:
x = x0 + v0t + ½at²
Graphen:
(Hier würden die Graphen für Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt werden.)
Newtons Bewegungsgesetze
1. Newtonsches Gesetz (Trägheitsgesetz)
Ein Körper, auf den keine äußeren Kräfte wirken, verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung.
Bezugssysteme, die sich in Ruhe befinden oder sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, werden als Inertialsysteme bezeichnet, da in ihnen das Trägheitsprinzip gilt und somit die physikalischen Gesetze in gleicher Weise erfüllt sind. Rotierende oder beschleunigte Bezugssysteme sind im Allgemeinen Nicht-Inertialsysteme, in denen die Newtonschen Gesetze nicht in gleicher Weise gelten wie in Inertialsystemen.
2. Newtonsches Gesetz (Aktionsprinzip)
Die Änderung des Impulses eines Körpers ist proportional zur einwirkenden Kraft und erfolgt in Richtung dieser Kraft (F = ma). Wechselwirkungen treten immer zwischen zwei Körpern auf. Die Auswirkungen einer Interaktion sind die Änderung der Geschwindigkeit und somit der Beschleunigung. Wechselwirkungen erfordern nicht unbedingt direkten Kontakt zwischen den Körpern.
3. Newtonsches Gesetz (Wechselwirkungsprinzip)
Übt ein Körper A auf einen Körper B eine Kraft (Aktion) aus, so übt Körper B auf Körper A eine gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete Kraft (Reaktion) aus. Diese Kräfte wirken auf verschiedene Körper. Andernfalls wäre es unmöglich, die Bewegungen der Körper zu verändern.