Produktionsplanung & -steuerung: Hierarchische Ebenen und Lineare Programmierung

Produktionsplanung und -steuerung: Ein hierarchischer Ansatz

Der Prozess der Produktionsplanung und -steuerung sollte einem hierarchischen Ansatz folgen, bei dem die vertikale Integration zwischen strategischen und taktischen Zielen des Produktionssystems erreicht und horizontale Beziehungen zu anderen Funktionsbereichen des Unternehmens hergestellt werden.

Für eine effiziente Planung lassen sich, je nach Zeithorizont und Wirtschaftszweig, vier hierarchische Ebenen unterscheiden:

1. Strategische Planung (Langfristig)

Diese Ebene deckt einen Zeithorizont von mehr als einem Jahr ab. Hier wird die installierte Kapazität bestimmt und es werden Rahmenbedingungen für nachfolgende Planungsstufen festgelegt.

2. Aggregierte Planung (Mittelfristig)

Mit einem Horizont von 6 bis 18 Monaten werden hier der notwendige Arbeitskräftebedarf, Lagerbestände und mittelfristige Lieferverträge festgelegt.

3. Masterplan der Produktion (MPS)

Basierend auf den Vorgaben der aggregierten Planung wird hier die Menge jedes zu produzierenden Artikels sowie der Starttermin der Produktion bestimmt.

4. Feinplanung und Fertigungssteuerung (Kurzfristig)

Hier wird die geplante Produktion jedem Arbeitsplatz zugewiesen und die ordnungsgemäße Ausführung sowie die Lieferung kontrolliert.

Aggregierte Produktionsplanung

Die Hauptaufgabe der aggregierten Produktionsplanung ist es, die optimale Kombination aus Produktionsrate, Arbeitskräfteeinsatz und Lagerbeständen zu bestimmen, um Kosten zu minimieren und die erwartete Nachfrage zu decken. Der gesamte Planungsprozess beginnt mit der Einschätzung des zukünftigen Bedarfs an Endprodukten, basierend auf bereits vorliegenden Kundenaufträgen oder auf Bedarfsprognosen der Marketingabteilung, die aus Marktforschungsergebnissen gewonnen werden.

Die Nachfrage wird dabei nicht für jedes Produkt einzeln betrachtet, sondern für Produktfamilien oder -gruppen aggregiert. Aus dieser Einschätzung werden die erforderlichen Ressourcen wie Materialien, Arbeitskräfte usw. abgeleitet.

Ein Unternehmen strebt idealerweise einen stabilen aggregierten Plan mit einer gleichmäßigen Produktionsrate an. Da die Nachfrage jedoch selten stabil ist und oft starken Schwankungen unterliegt, muss der aggregierte Plan so gestaltet sein, dass die Produktion an diese Nachfrageschwankungen angepasst oder deren Intensität reduziert werden kann, während gleichzeitig eine effiziente Nutzung der Produktionskapazität des Unternehmens gewährleistet wird.

Masterplan der Produktion (MPS)

Der Masterplan der Produktion (MPS) deckt einen Zeithorizont von mehreren Wochen ab und legt die Menge jedes einzelnen Produkts fest, das produziert werden soll, um die Marktanforderungen zu erfüllen. Er ist ein detaillierter Plan, der die spezifischen Mengen und genauen Termine der Endproduktherstellung festlegt und somit die Verbindung zwischen der aggregierten Planung und der kurzfristigen Fertigungssteuerung herstellt. Sein Ziel ist es, den Produktionsplan für jede Produktart so zu bestimmen, dass festgelegte Fristen eingehalten, bestehende Kapazitätsengpässe berücksichtigt und die installierte Leistung effizient genutzt wird.

Die meisten Autoren sind sich einig, dass der Planungshorizont variabel sein kann, abhängig von der Produktart und dem Umfang der Vorlaufzeit in der Produktion. Dieser kann von Stunden bis zu einigen Wochen oder Monaten reichen, wobei wöchentliche Überprüfungen üblich sind.

Feinplanung und Fertigungssteuerung

Diese Produktionsplanung hat einen Planungshorizont von weniger als drei Monaten und umfasst eine Reihe von Maßnahmen im Bereich der Produktionsplanerstellung, der Auftragsvergabe an einzelne Arbeitsplätze sowie der Organisation von Materiallieferungen und Bestellungen. Diese Planung wird oft als Werkstattsteuerung bezeichnet und ist verantwortlich für die Planung, Überwachung und Bewertung der operativen Umsetzung. Ihr Ziel ist es, die Einhaltung des Masterplans mit den verfügbaren Kapazitäten zu gewährleisten und eine möglichst hohe Effizienz zu erreichen. Zu ihren Hauptfunktionen gehören:

• Bewertung und Kontrolle von Produktionsaufträgen
• Priorisierung von Aufträgen und Arbeitsaufgaben, Sortierung von Arbeitsplätzen und Zuweisung der Aufgaben
• Verfolgung und Statusermittlung laufender Aufträge
• Kontrolle der Durchführung von Operationen
• Kapazitätskontrolle jedes einzelnen Arbeitsplatzes
• System für Rückmeldungen zur Planung und Kapazitätskontrolle

Lineares Modell der Produktionsplanung

Eines der am weitesten verbreiteten quantitativen Werkzeuge für die kurzfristige Produktionsplanung ist die lineare Programmierung. Die lineare Programmierung befasst sich mit Problemen der optimalen Aufteilung begrenzter Ressourcen auf konkurrierende Aktivitäten. Dabei wird das Problem mithilfe eines mathematischen Modells beschrieben.

Der Begriff 'Programmierung' bedeutet hier Planung oder die Ausarbeitung eines optimal durchzuführenden Plans. Das Adjektiv 'linear' weist darauf hin, dass alle funktionalen Beziehungen im mathematischen Modell linearer Natur sein müssen.

Das Ziel der linearen Programmierung ist es, zu bestimmen, welche Produkte in welchem Umfang unter Berücksichtigung begrenzter Ressourcen produziert werden müssen, um beispielsweise den maximalen Ertrag zu erzielen, ohne die Kapazitäten zu überschreiten.

Die Formulierung eines linearen Programmierproblems erfolgt als algebraisches Planungsmodell, das die Bestimmung der folgenden Elemente erfordert:

• Die Entscheidungsvariablen des Modells, d.h. diejenigen, die angeben, welche Entscheidungen getroffen werden sollen.
• Die Nebenbedingungen oder Einschränkungen.
• Die Zielfunktion, die das zu optimierende Ziel (z.B. Maximierung des Gewinns, Minimierung der Kosten) als mathematischen Ausdruck darstellt.

Algebraische Formulierung des Problems

Zielfunktion: Max (oder Min) Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + c_nx_n

Nebenbedingungen:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n (≤, =, ≥) b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2nx_n (≤, =, ≥) b₂
...
a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n (≤, =, ≥) b_m

Nichtnegativitätsbedingungen: x_j ≥ 0 für alle j

Entscheidungsvariablen (Unbekannte): x_j (j = 1, ..., n)

Verfügbare Ressourcen (Daten): b_i (i = 1, ..., m)

Technologische Koeffizienten: a_ij

Die Lösung von Problemen der linearen Programmierung erfolgt normalerweise mithilfe effizienter Algorithmen aus dem Operations Research. Der Simplex-Algorithmus, ein iteratives Verfahren zur Suche nach der optimalen Lösung, ist hierbei einer der bekanntesten. Das Problem der linearen Programmierung wurde 1947 von George Dantzig entwickelt und ist aufgrund seiner Einfachheit und Wirksamkeit eine der meistgenutzten Techniken. Insbesondere mit den technologischen Durchbrüchen in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts hat die lineare Programmierung an Bedeutung gewonnen. Heute werden lineare Programmierprobleme oft mit spezieller Software oder sogar in Tabellenkalkulationsprogrammen wie Microsoft Excel (z.B. mit der Solver-Funktion) gelöst.

Beispiel: Unternehmen Gepetto, S.L.

Ein Unternehmen stellt Puppen und Züge her:

• Jede Puppe: Nettogewinn von 3 €, 2 Stunden Endbearbeitung, 1 Stunde Schreinerarbeiten.
• Jeder Zug: Nettogewinn von 2 €, 1 Stunde Endbearbeitung, 1 Stunde Schreinerarbeiten.

Jede Woche stehen unbegrenzt Materialien zur Verfügung, jedoch nur 100 Stunden für die Endbearbeitung und 80 Stunden für Schreinerarbeiten. Die Nachfrage nach Zügen kann als unbegrenzt angenommen werden. Die Nachfrage nach Puppen beträgt höchstens 40 Stück. Gepetto möchte den Gewinn maximieren. Wie viele Puppen und Züge sollten produziert werden?

• X = Anzahl der pro Woche hergestellten Puppen
• Y = Anzahl der pro Woche hergestellten Züge

Die Zielfunktion dient dazu, den Gewinn zu maximieren oder die Kosten zu minimieren. Nebenbedingungen (Constraints) begrenzen die möglichen Werte der Entscheidungsvariablen. In dieser Übung sind die Beschränkungen durch die verfügbaren Stunden für Endbearbeitung und Schreinerarbeiten sowie die Nachfrage nach Puppen gegeben. Hinzu kommen die Nichtnegativitätsbedingungen (X ≥ 0, Y ≥ 0). Gepettos Ziel ist es, die Werte von X und Y so zu wählen, dass der Gewinn maximiert wird. Die Variable Z wird verwendet, um den Wert der Zielfunktion darzustellen. Die Zielfunktion für Gepetto lautet: MAX Z = 3x + 2y.

Die Werte für X und Y können nicht unbegrenzt erhöht werden, da sie durch die folgenden Bedingungen begrenzt sind:

• Nebenbedingung 1 (Endbearbeitung): Es können nicht mehr als 100 Stunden für die Endbearbeitung verwendet werden.
• Nebenbedingung 2 (Schreinerarbeiten): Es können nicht mehr als 80 Stunden für Schreinerarbeiten verwendet werden.
• Nebenbedingung 3 (Nachfrage Puppen): Es sollten nicht mehr als 40 Puppen hergestellt werden.

Diese drei Einschränkungen können mit den folgenden Ungleichungen ausgedrückt werden:

• Endbearbeitung: 2x + y ≤ 100
• Schreinerarbeiten: x + y ≤ 80
• Nachfrage Puppen: x ≤ 40

Zusätzlich gelten die Nichtnegativitätsbedingungen: x ≥ 0, y ≥ 0.

Zielfunktion: Max Z = 3x + 2y

Nebenbedingungen:
2x + y ≤ 100 (Endbearbeitung)
x + y ≤ 80 (Schreinerarbeiten)
x ≤ 40 (Nachfrage Puppen)
x ≥ 0, y ≥ 0 (Nichtnegativitätsbedingungen)

Grafische Lösung eines linearen Programmierproblems

Um ein lineares Programmierproblem grafisch zu lösen, muss zunächst der zulässige Bereich (oder Lösungsraum) identifiziert werden. Dies ist die Menge aller Punkte, die alle Nebenbedingungen erfüllen. Dieser Bereich wird durch das System der Ungleichungen, die die Beschränkungen darstellen, begrenzt.

Die optimale Lösung für ein Maximierungsproblem ist ein Punkt im zulässigen Bereich, an dem die Zielfunktion einen maximalen Wert annimmt. Für ein Minimierungsproblem ist es der Punkt, an dem die Zielfunktion einen minimalen Wert hat. Die meisten linearen Programmierprobleme haben eine eindeutige optimale Lösung. Einige Probleme haben jedoch keine optimale Lösung (unzulässig) oder eine unendliche Anzahl von Lösungen (unbegrenzt oder mehrere optimale Eckpunkte). Es kann gezeigt werden, dass die optimale Lösung immer an der Grenze des zulässigen Bereichs, genauer gesagt in einer Ecke (einem Eckpunkt), liegt, wenn die Lösung eindeutig ist, oder entlang einer kontinuierlichen Strecke zwischen zwei Eckpunkten, wenn es unendlich viele Lösungen gibt.