QR-Zerlegung, Eigenräume und Differenzengleichungen

QR-Zerlegung

Ist A eine m × n-Matrix mit linear unabhängigen Spalten, dann kann A als A = QR zerlegt werden, wobei Q eine Matrix mit orthonormalen Spalten und R eine obere Dreiecksmatrix ist.

Beispiel: QR-Faktorisierung

Suchen Sie eine QR-Faktorisierung für die Matrix A:

A = [1, -2, 1; -1, 3, 2; 1, 1, -4]

Lösung: Durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Spalten von A erhalten wir:

• q₁ = [1/√3, -1/√3, 1/√3]ᵀ
• q₂ = [0, 1/√2, 1/√2]ᵀ
• q₃ = [2/√6, 1/√6, -1/√6]ᵀ

Reduktion von Matrizen: Diagonalisierbare Fälle

Für die Berechnung von Aⁿ gilt: P⁻¹AP = D, woraus A = PDP⁻¹ folgt. Somit ist Aⁿ = PDⁿP⁻¹.

Generalisierte Eigenräume

Beispiel zur Bestimmung des verallgemeinerten Eigenraums einer Matrix A. Die Eigenwerte mit algebraischen Vielfachheiten sind:

• λ₁ = 1, m(λ₁) = 3
• λ₂ = -3, m(λ₂) = 1

Der verallgemeinerte Eigenraum E_g(A, λ) ergibt sich aus dem Kern der Potenzen von (λI - A).

Primärzerlegungssatz

Wir suchen eine Basis aus verallgemeinerten Eigenvektoren. Für eine Matrix A mit charakteristischem Polynom p_A(z) = (z-4)²(z+2) ergeben sich die Eigenwerte λ₁ = 4 (Vielfachheit 2) und λ₂ = -2 (Vielfachheit 1).

Differenzengleichungen

Homogene lineare Differenzengleichungen werden über das charakteristische Polynom gelöst. Die allgemeine Lösung setzt sich aus den Basislösungen zusammen, die durch die Eigenwerte und deren Vielfachheiten bestimmt werden.

Beispiel: Lösung einer Differenzengleichung

Gegeben sei x_{j+2} - 2x_{j+1} - 3x_j = 0 mit x₀ = 0, x₁ = 1.

1. Charakteristisches Polynom: p(z) = z² - 2z - 3 = (z-3)(z+1).
2. Wurzeln: λ₁ = 3, λ₂ = -1.
3. Allgemeine Lösung: x_j = A(3^j) + B(-1)^j.
4. Bestimmung der Konstanten durch Anfangsbedingungen führt zu: x_j = 1/4 * 3^j - 1/4 * (-1)^j.