Satz von Cauchy: Beweis

Satz von Cauchy (Mittelwertsatz)

Wenn f und g zwei Funktionen sind, die folgende Bedingungen erfüllen:

• f und g sind stetig auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b].
• f und g sind differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b).
• Für alle x im offenen Intervall (a, b) gilt: g'(x) ≠ 0.

Dann existiert eine Zahl z im offenen Intervall (a, b), sodass:

$$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(z)}{g'(z)}$$

Beweis

Zuerst zeigen wir, dass g(b) ≠ g(a).

Wir führen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass g(b) = g(a).

Da g die Voraussetzungen des Mittelwertsatzes erfüllt, existiert eine Zahl c in (a, b), sodass:

$$g'(c) = \frac{g(b) - g(a)}{b - a}$$

Da wir angenommen haben, dass g(b) = g(a), ist g(b) - g(a) = 0, also g'(c) = 0. Dies widerspricht der dritten Voraussetzung, dass g'(x) ≠ 0 in (a, b). Daher ist unsere Annahme falsch und es gilt g(b) ≠ g(a) und somit g(b) - g(a) ≠ 0.

Betrachten wir nun die Funktion h, definiert durch:

$$h(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[g(x) - g(a)]$$

Wir zeigen, dass h die Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt:

• Da f(x) und g(x) stetig und differenzierbar sind, ist auch h(x) als Differenz stetiger und differenzierbarer Funktionen stetig und differenzierbar.

Berechne h(a) und h(b):

$$h(a) = f(a) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[g(a) - g(a)] = 0$$

$$h(b) = f(b) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}[g(b) - g(a)] = f(b) - f(a) - f(b) + f(a) = 0$$

Daher sind die drei Voraussetzungen des Satzes von Rolle erfüllt. Somit existiert eine Zahl z in (a, b), sodass h'(z) = 0.

Die Ableitung von h(x) ist:

$$h'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g'(x)$$

Wenn wir in dieser Ableitung x durch z ersetzen, erhalten wir:

$$h'(z) = f'(z) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g'(z) = 0$$

Daraus folgt:

$$f'(z) = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}g'(z)$$

Und somit:

$$\frac{f'(z)}{g'(z)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

Dies ist die Aussage des Satzes.

Spezialfall: Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz ist ein Spezialfall des Satzes von Cauchy, wenn g(x) = x.