Satz von Rolle, Lagrange und Konvergenzkriterien

Der Satz von Rolle

Definition: Wenn die Funktion y = f(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetig, auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar ist und f(a) = f(b) gilt, dann existiert mindestens ein x₀ ∈ (a, b), sodass f'(x₀) = 0 ist.

Beweis des Satzes von Rolle

Die Kontinuität von y = f(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] impliziert nach dem Satz von Weierstraß die Existenz eines absoluten Maximums M und eines absoluten Minimums m in diesem Bereich. Dabei können zwei Fälle auftreten:

• Fall 1: Das Maximum M liegt in (a, b), das Minimum m liegt in (a, b) oder beide liegen im offenen Intervall.
• Fall 2: Sowohl M als auch m befinden sich an den Endpunkten a und b.

Analyse von Fall 1

Nehmen wir Fall 1 an, wobei M der Wert der Funktion an einem Punkt im offenen Intervall (a, b) ist. Da die Funktion im offenen Intervall differenzierbar ist, muss die Ableitung an einer Extremstelle verschwinden: Wenn f(x₀) = M, dann folgt f'(x₀) = 0. Dasselbe tritt ein, wenn das Minimum m an einem Punkt im offenen Bereich erreicht wird. Liegen beide im Inneren, erhalten wir zwei Punkte, an denen die Ableitung verschwindet.

Analyse von Fall 2

Nehmen wir nun an, dass f(a) = M und f(b) = m gilt. Da f(a) = f(b) vorausgesetzt ist, folgt M = m. Da die Funktion alle Werte zwischen m und M annimmt und diese gleich sind, ist die Funktion im gesamten Intervall konstant: f(x) = c. Ist die Funktion konstant, ist ihre Ableitung an allen Stellen im Inneren Null: f'(x) = 0 für alle x ∈ (a, b).

Der Punkt, an dem die Ableitung verschwindet, entspricht der horizontalen Tangente. In (a, b) gibt es einen Punkt mit einer horizontalen Tangente, die parallel zur Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) verläuft.

Der Mittelwertsatz von Lagrange

Sei g die Funktion y = x, deren Graph die Winkelhalbierende des 1. und 3. Quadranten darstellt. Die Ableitung y' = 1 verschwindet an keiner Stelle x. Da g(a) = a und g(b) = b, haben wir:

Entsprechend gilt die Formel: f(b) - f(a) = f'(x₀)(b - a) mit a < x₀ < b. Die Steigung der Sekante durch die Punkte [a, f(a)] und [b, f(b)] ist gleich der Steigung der Tangente an die Kurve f(x) bei x = x₀. Somit sind diese beiden Linien parallel.

Infinitesimalrechnung und Äquivalenzen

Wichtige Näherungen und Grenzwerte für infinitesimale Größen (für W → 0):

• ln(a₀ + a₁n + a₂n² + ... + aₖnᵏ) - ln(nᵏ)
• sin W ≈ W
• tan W ≈ W
• 1 - cos W ≈ W² / 2
• ln A ≈ A - 1
• A^(1/n) ≈ (1/n) * ln A
• eˣ - 1 ≈ x
• (1 + x)ᵐ - 1 ≈ m * x
• sin x ≈ x
• x - sin x ≈ x³ / 6
• log x ≈ x - 1
• xᵐ - 1 ≈ m(x - 1)

Konvergenzkriterien für Folgen und Reihen

• Stolz-Cesàro: Aₙ / Bₙ → (Aₙ - Aₙ₋₁) / (Bₙ - Bₙ₋₁)
• Wurzelkriterium: → (W - 1) / W
• Pringsheim-Kriterium: nᵖ · Aₙ; wenn < 1, dann divergent.
• Raabe-Kriterium: n [1 - (Aₙ₊₁ / Aₙ)]; wenn x > 1, konvergiert die Reihe.
• Weitere Relationen: Bₙ · (W - 1) oder Bₙ · ln(Aₙ)