Statistik: Normalverteilung, Hypothesentests und Stichproben

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Geschrieben am 15. Juni 2025 in Deutsch mit einer Größe von 6,17 KB

Der SPSS Normalitätstest zeigt, dass die H0-Hypothese besagt, dass die Variable normalverteilt ist, während die H1-Hypothese besagt, dass die Variable nicht normalverteilt ist.
Die Normalverteilung ist durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung bestimmt.
Bei einer Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist bekannt, dass etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung vom Mittelwert liegen.
Die Normalverteilungs-Dichtefunktion ist symmetrisch, unimodal und mesokurtisch.
Zur Schätzung der Parameter eines linearen Regressionsmodells wird die Kleinste-Quadrate-Methode (Least-Squares-Schätzung) verwendet.
Eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von Null und einer Standardabweichung von 1 wird als Standardnormalverteilung bezeichnet.
Im Falle einer normalverteilten X-Variable ist die Interpretation bekannt: Jedem Wert einer Normalverteilung N(μ, σ) wird ein Wert der Standardnormalverteilung N(0,1) zugewiesen, der genau die gleiche Wahrscheinlichkeit unterschreitet.
Der Mittelwert in einem Normalverteilungsmodell ist ein Translationsfaktor.
Die Standardabweichung der Normalverteilung bestimmt die Form der Kurve.
Wenn P(Z ≤ 1,85) = 0,958, dann ist P(Z > 1,85) = 1 - 0,958 = 0,042.
Die Wahrscheinlichkeit P(Z < 0) beträgt 0,5.
Obwohl eine Zufallsvariable selbst keine Normalverteilung aufweisen muss, kann ein statistischer Schätzer, der aus großen Stichproben berechnet wird, eine Normalverteilung besitzen (zentraler Grenzwertsatz).
Die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts ist nicht immer gleich der Standardabweichung der Grundgesamtheit.
Der Mittelwert einer Stichprobe, die aus einer normalverteilten Grundgesamtheit stammt, ist ebenfalls normalverteilt.
Mithilfe der Standardisierung können Messungen aus verschiedenen Normalverteilungen verglichen werden.
Wenn n > 30, wird der Stichprobenmittelwert oft als annähernd normalverteilt angenommen (zentraler Grenzwertsatz).
Das Chi-Quadrat-Modell ist asymmetrisch (rechtsschief).
Das Student-t-Modell ist symmetrisch um den Mittelwert.
Das Gauß-Modell wird häufig zur Beschreibung von Messfehlern verwendet.
Wenn n groß ist (n > 30) und p klein ist (np > 5 und nq > 5), kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Die Poisson-Verteilung approximiert die Binomialverteilung, wenn n groß und p sehr klein ist (np < 5).
Das F-Modell von Snedecor hat zwei Parameter (Freiheitsgrade).
Die ideale Grundgesamtheit für eine Untersuchung wird als Zielpopulation bezeichnet.
Der Chi-Quadrat-Test wird angewendet, um die Unabhängigkeit von kategorialen Variablen zu überprüfen.
Die Gruppe, die wir tatsächlich untersuchen können, wird als Studienpopulation bezeichnet.
Bei der probabilistischen Stichprobenziehung ist die Wahrscheinlichkeit bekannt, mit der ein Individuum für die Stichprobe ausgewählt wird.
Nicht-probabilistische Stichprobenziehung ist in der Regel nicht unvoreingenommen.
Die Techniken des statistischen Schließens setzen voraus, dass die Stichprobe zufällig ausgewählt wurde.
Um bestimmte Arten von Verzerrungen (z.B. durch soziale Erwünschtheit) zu vermeiden, wird die Random-Response-Technik verwendet.
Die Cluster-Stichprobenziehung wird angewendet, wenn es schwierig ist, eine vollständige Liste aller Individuen der Studienpopulation zu erstellen.
Ein Schätzwert ist eine numerische Größe, die aus einer Stichprobe berechnet wird und eine Annäherung an einen Populationsparameter darstellt.
Die Standardabweichung des Stichprobenmittelwerts (Standardfehler des Mittelwerts) ist σ/√n.
Verzerrungen aufgrund systematischer Unterschiede zwischen der Zielpopulation und der Studienpopulation werden als Selektionsbias bezeichnet.
Die Konfidenzintervallschätzung enthält einen Bereich von Werten, der den wahren Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (Konfidenzniveau) einschließt.
Statistische Inferenz ist die Menge von Methoden, die Rückschlüsse auf eine Grundgesamtheit basierend auf einer probabilistischen Stichprobe erlauben.
Eine statistische Hypothese ist eine Annahme über die Parameter einer oder mehrerer Populationen, die anhand von Stichprobendaten überprüft wird.
Die Kovarianz misst die Richtung und Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Variablen.
Der Pearson-Korrelationskoeffizient r liegt zwischen -1 und 1.
Der Korrelationskoeffizient r ist dimensionslos.
Die Regressionsanalyse wird verwendet, um die abhängige Variable mithilfe einer oder mehrerer unabhängiger Variablen vorherzusagen.
Die H1-Hypothese (Alternativhypothese) ist die Annahme, die man beweisen möchte, wenn die Daten die H0-Hypothese widerlegen.
Die H0-Hypothese (Nullhypothese) wird beibehalten, solange nicht genügend Beweise für die H1-Hypothese vorliegen.
Wenn das Konfidenzniveau 90 % beträgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art (Alpha-Fehler) 0,10.
Der R-Quadrat-Koeffizient (Bestimmtheitsmaß) interpretiert den Anteil der Variabilität der abhängigen Variablen, der durch die unabhängigen Variablen erklärt wird.
Ein Streudiagramm ist ein Diagramm, das die Beziehung zwischen zwei numerischen Variablen darstellt und Tendenzen in den Daten sichtbar macht.
Wenn der p-Wert kleiner als das Signifikanzniveau (Alpha) ist, wird die H0-Hypothese abgelehnt und die H1-Hypothese angenommen.
Ein Kontrast ist nicht signifikant, wenn der p-Wert größer als Alpha ist.
Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn die H0-Hypothese fälschlicherweise nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist.
Der Mann-Whitney-U-Test ist ein nicht-parametrischer Test zum Vergleich der Mediane (oder Verteilungen) von zwei unabhängigen Stichproben.
Der p-Wert wird mit dem vorab festgelegten Signifikanzniveau (Alpha) verglichen.
Der Wilcoxon-Rangsummentest ist ein nicht-parametrischer Test zum Vergleich von zwei abhängigen Stichproben oder zum Vergleich einer Stichprobe mit einem Referenzwert.

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