Statistik und Wahrscheinlichkeit: Grundlagen und Anwendungen

T.1 Beschreibung statistischer Variablen

Absolute Häufigkeit (fi, xi): Wie oft ein Wert xi wiederholt wird.

Relative Häufigkeit (hi): xi, ausgedrückt als Anteil der absoluten Häufigkeit an der Gesamtzahl (n): hi = fi / n.

Kumulative absolute Häufigkeit (Fi): Anzahl der Werte, die kleiner oder gleich xi sind.

Kumulative relative Häufigkeit (Hi): Fi, ausgedrückt als Anteil der Gesamtzahl (n): Hi = Fi / n.

Häufigkeitstabellen mit gruppierten Daten

Intervalle (Ii, Si): Untere und obere Grenze des Bereichs oder der Klasse.

Klassenmitte (xi): Repräsentativer Wert des Intervalls: xi = (Ii + Si) / 2.

Klassenbreite (ci): Länge des Intervalls: ci = Si - Ii.

Intervallanzahl: Üblicherweise 5 ≤ K ≤ 5 (abhängig von der Datenmenge).

Wichtig: Bereiche müssen vollständig und sich gegenseitig ausschließen.

Grafische Darstellung von Daten

Qualitative Daten: Kreisdiagramm und Balkendiagramm.

Quantitative Daten (ungegruppiert): Häufigkeitspolygon, Summenkurve.

Quantitative Daten (gruppiert): Histogramm und Summenkurvenhistogramm.

T.2 Zusammenfassende Datenmaße

Maße der zentralen Tendenz und Zentralisierung

Beschreiben, wie eine Variable über alle möglichen Werte verteilt ist.

Mittelwert (x̄): Summe aller Beobachtungen geteilt durch die Anzahl der Beobachtungen (n): x̄ = (x1 + x2 + ... + xn) / n. Bei Häufigkeitstabellen: x̄ = (x1f1 + x2f2 + ... + xkfk) / n. Der Mittelwert kann durch Ausreißer beeinflusst werden.

Median (I): Der Wert, der die geordnete Datenmenge in zwei gleiche Teile teilt (jeweils 50% der Beobachtungen). Wenn n ungerade ist: I = x([(n+1)/2]). Wenn n gerade ist: I = (x(n/2) + x(n/2 + 1)) / 2. Bei gruppierten Daten: I = Ii + [((n / 2) - Fi-1) / fi] * ci.

Modalwert (Mo): Der Wert, der am häufigsten vorkommt. Bei gruppierten Daten mit gleicher Klassenbreite: Mo = Ii + [(fi - fi-1) / (fi - fi-1 + fi - fi+1)] * ci. Bei ungleicher Klassenbreite: Mo = Ii + [(ki - ki-1) / (ki - ki-1 + ki - ki+1)] * ci.

Weitere Lagemaße

Quartile (Q1, Q2, Q3): Teilen die geordnete Datenmenge in vier gleiche Teile.

Perzentile (P1, P2, ..., P99): Teilen die geordnete Datenmenge in hundert gleiche Teile.

T.3 Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt und untersucht das Verhalten von Zufallsexperimenten oder -ereignissen. Ein Zufallsereignis ist zufällig, wenn sein Ergebnis nicht mit Sicherheit vorhergesagt werden kann. Das Verhalten wird erst bei vielen Wiederholungen vorhersagbar.

Stichprobenraum: Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsereignisses.

Ereignis: Ein Ergebnis oder eine Teilmenge des Stichprobenraums. Ein Ereignis tritt ein, wenn das Ergebnis des Zufallsexperiments ein Element des Ereignisses ist.

Unmögliches Ereignis: Das leere Ereignis, das kein Ergebnis des Stichprobenraums enthält.

Sicheres Ereignis: Der Stichprobenraum selbst.

Operationen mit Ereignissen

Vereinigung (A ∪ B): Die Menge aller Ergebnisse, die zu A, B oder beiden gehören.

Schnittmenge (A ∩ B): Die Menge aller Ergebnisse, die sowohl zu A als auch zu B gehören.

Disjunkte Ereignisse: Ereignisse ohne gemeinsame Ergebnisse.

Differenz (A \ B): Die Menge aller Ergebnisse, die zu A gehören, aber nicht zu B.

Konzept der Wahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist ein Maß dafür, wie wahrscheinlich das Ereignis eintritt. Sie wird als Verhältnis der Anzahl der günstigen Fälle zur Anzahl aller möglichen Fälle definiert.

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen 0 und 1.
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt oder nicht eintritt, ist 1: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
3. Die Wahrscheinlichkeit der Differenz A \ B: P(A \ B) = P(A) - P(A ∩ B).

Laplace-Regel

Wenn ein Stichprobenraum N gleich wahrscheinliche Ergebnisse enthält, ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses 1/N. Wenn A ein Ereignis ist, das k Ergebnisse enthält, dann ist P(A) = k/N.