Statistische Maße: Zentrale Tendenz, Dispersion, Momente, Form und Konzentration

Maße der zentralen Tendenz

Das arithmetische Mittel

Das arithmetische Mittel kann für verschiedene Datentypen berechnet werden:

• Nicht gruppierte Daten (z.B. in einer Tabelle)
• Gruppierte Daten (z.B. in Häufigkeitstabellen ohne Intervalle)
• Daten mit Intervallen und gepoolten Daten (mit xi-Notation)

Median (Me)

Der Median ist der Wert, der eine geordnete Datenreihe in zwei gleich große Hälften teilt.

• n (Anzahl der Datenpunkte) ist gerade:
• n ist ungerade:

Wichtig: Ordnen Sie die Daten von niedrigstem zum höchstem Wert, bevor Sie den Median bestimmen.

Modus (Mo)

Der Modus ist der Wert, der am häufigsten in einer Datenreihe vorkommt.

Spannweite (RM)

Geometrisches Mittel (G)

Harmonisches Mittel (H)

Quadratisches Mittel (Q)

Quantile

k-tes Quantil

Maße der Dispersion

Spannweite (Re)

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und kleinsten Wert in einer Datenreihe.

Varianz (S²)

Die Varianz misst die durchschnittliche quadratische Abweichung der Werte vom arithmetischen Mittel.

Theoretische Berechnungen:

V(x) 0

• Verschiebung des Ursprungs: Die Varianz ändert sich nicht, wenn eine Konstante zu allen Werten addiert wird.
• Skalierung: Wenn alle Werte mit einer Konstanten k multipliziert werden, ändert sich die Varianz um k². (V(kX) = k² * V(X))
• Varianz einer Konstanten: V(k) = 0

Standardabweichung

Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz.

Interquartilsabstand (IQR)

Der Interquartilsabstand ist die Differenz zwischen dem dritten und ersten Quartil.

Preis der Eröffnung

(Anmerkung: "Preis der Eröffnung" ist keine gängige statistische Bezeichnung für ein Dispersionsmaß. Es könnte sich um eine Fehlübersetzung handeln.)

Variationskoeffizient (%)

Der Variationskoeffizient ist das Verhältnis von Standardabweichung zu arithmetischem Mittel.

Je höher der Wert, desto stärker sind die Daten gestreut.

Der Variationskoeffizient ist nicht immer positiv; er kann auch negativ sein, wenn das arithmetische Mittel negativ ist.

Momente

Momente bezüglich des Ursprungs

Zentrale Momente (Momente bezüglich des Mittelwerts)

Zweites Moment

Maße zur Form: Schiefe und Kurtosis

Maße der Asymmetrie (Schiefe)

Pearson-Schiefe-Index (Ap)

Je höher der absolute Wert von Ap, desto größer die Asymmetrie.

• Ap > 0: Die Verteilung ist rechtsschief (oder positiv asymmetrisch).
• Ap < 0: Die Verteilung ist linksschief (oder negativ asymmetrisch).
• Ap = 0: Die Verteilung ist symmetrisch (Mittelwert = Median = Modus).

Hinweis: Ap > 1 deutet auf eine signifikante Asymmetrie hin.

Drittes zentrales Moment (m3)

Trägt das Vorzeichen und die Art der Asymmetrie.

• m3 > 0: Die Verteilung ist rechtsschief (positiv).
• m3 < 0: Die Verteilung ist linksschief (negativ).
• m3 = 0: Die Verteilung ist symmetrisch.

Fisher-Schiefe-Index (g1)

Wandelt das dritte zentrale Moment in einen dimensionslosen Index um.

Maße der Kurtosis (Wölbung)

Kurtosis-Koeffizient (g2)

• g2 > 0: Die Verteilung ist leptokurtisch (spitzgipflig, hohe Kurtosis).
• g2 < 0: Die Verteilung ist platikurtisch (flachgipflig).
• g2 = 0: Die Verteilung ist mesokurtisch (normalgipflig).

Maße der Konzentration

• Maximale Konzentration: Ungleiche Verteilung, z.B. X1 = X2 = X3 = ... = Xn-1 = 0 und Xn > 0.
• Minimale Konzentration: Gerechte Verteilung, z.B. X1 = X2 = X3 = ... = Xn.

Wichtige Konzentrationsmaße:

• Gini-Koeffizient
• Lorenz-Kurve

Lorenz-Kurve

Visualisiert die Einkommensverteilung in einer Bevölkerung.

Daten für die Lorenz-Kurve:

• Xini: Produkte/Werte
• Ri: Kumulierte Werte (z.B. Einkommen)
• xi: Individuelles Einkommen
• Ni: Absolute kumulierte Häufigkeit
• Ui = Ri: Gesamtsummen
• Ui: Gesamteinkommen aller Individuen = A (%) ->
• Qi: Kumulierte relative Einkommen (%)
• pi: Kumulierte relative Häufigkeit (%)

Hinweis: Wenn pi - Qi = 0, deutet dies auf die niedrigste Konzentration (perfekte Gleichverteilung) hin.

Grafische Darstellung:

Je näher die Lorenz-Kurve an der Diagonalen liegt, desto geringer ist die Konzentration und desto homogener ist die Verteilung. Die Diagonale repräsentiert die absolute Gleichverteilung.

Gini-Koeffizient

Misst die Konzentration des Reichtums und entspricht der doppelten Fläche der Konzentration (Fläche zwischen Lorenz-Kurve und Diagonale).

Der Gini-Koeffizient liegt zwischen 0 und 1.

• 0: Perfekte Gleichverteilung (minimale Konzentration).
• 1: Maximale Konzentration (eine Person besitzt alles).