Systemanalyse und Simulation: Grundlagen und Monte-Carlo-Methode

Elemente eines Systems

Grundsätzlich besteht ein System aus Einrichtungen, Aktivitäten, Ressourcen und Kontrollen. Diese Elemente definieren, wer, was, wo, wann und wie die Verarbeitung im System abläuft.

Entities (Entitäten)

Entitäten sind die Elemente, die durch das System verarbeitet werden, wie Produkte, Kunden und Dokumente. Sie lassen sich in drei Arten einteilen:

• Belebte Entitäten: (Kunden, Patienten usw.)
• Unbelebte Entitäten: (Teile, Schreibwaren usw.)
• Immaterielle Vermögenswerte: (Anrufe, E-Mails, Projekte usw.)

Aktivitäten

Aktivitäten sind Aufgaben, die im System ausgeführt werden, wie das Ausfüllen, Schneiden, Reparieren, Kundendienst usw. Aktivitäten haben eine Laufzeit und nutzen in der Regel Ressourcen.

Ressourcen

Ressourcen sind die Mittel, durch welche Aktivitäten durchgeführt werden, zum Beispiel: Personal, Ausrüstung, Werkzeuge, Energie, Zeit, Geld usw. Ressourcen können quantitative Merkmale wie Kapazität, Geschwindigkeit, Zuverlässigkeit und Zykluszeit definieren und bestimmen auch, wer oder was die Aktivität wo durchführt.

Steuerung (Kontrolle)

Steuerungen entscheiden, wie, wann und wo die Maßnahmen durchgeführt werden, und bestimmen das Handeln bei bestimmten Ereignissen oder Bedingungen. Auf der obersten Ebene finden wir Kontrollen in Form von Strategien, Plänen oder Terminplänen, während auf einer niedrigeren Ebene Verfahren oder Programme verwendet werden.

Messung der System-Performance

Die Performance des Systems wird anhand seiner Effektivität und Effizienz bei der Erreichung der Ziele gemessen, für die es entworfen wurde. In vielen Situationen basieren die Ziele auf der Kostenwirksamkeit und dem Nutzen, der durch das System generiert wird. Die Daten zur Bestimmung dieser Leistung sind in der Regel: Preise, Kosten und quantitative Merkmale des Systems. Die Systemziele sind erfüllt, wenn die Leistung das gewünschte Niveau erreicht.

Der Systemansatz

Da die Elemente eines Systems voneinander abhängig sind, ist es nicht möglich zu verstehen, wie das System reagiert, indem man jedes Element einzeln studiert. Daher ist es notwendig, das Konzept des Systems als Ganzes zu betrachten, da eine Aufteilung in seine Struktur zwar möglich ist, aber seine Funktion beeinträchtigen kann. Um ein System als Ganzes zu sehen, ist es nötig, die Ursache-Wirkungs-Beziehungen und die Entscheidungs-Reaktions-Ketten zu verstehen.

Modelle und Abstraktion von Systemen

Modelle sind Abstraktionen von Systemen. Um neue Systeme zu gestalten und bestehende zu optimieren, sind Modelle unerlässlich, da Experimente mit dem System selbst sehr kostspielig sein können, das System zerstört oder zumindest vorübergehend in seiner Wirkung beeinträchtigt werden könnte, oder Experimente schlicht nicht möglich sind. Ein Modell muss daher ausreichend valide sein, um Entscheidungen zu ermöglichen, die jenen ähneln, die im Falle eines direkten Experiments mit dem System getroffen würden. Die Ergebnisse der Simulation, so valide sie auch sein mögen, werden jedoch nicht im Entscheidungsprozess verwendet, wenn das Modell nicht glaubwürdig ist. Mit anderen Worten, wir haben zwei Aufgaben: Ein Modell zu erstellen, das der Realität entspricht (valide), und „die oberen Ebenen“ davon zu überzeugen, dass es vertrauenswürdig ist (glaubwürdig).

Simulationsmodelle

Für die Simulation werden Modelle im Allgemeinen deskriptiv verwendet, um das Verhalten von Systemen im Laufe der Zeit zu untersuchen. Basierend auf dieser Forschung ist es möglich, die Bedingungen zu ermitteln, unter denen das System effektiver und effizienter arbeiten kann. Die Simulationsmodelle sind nicht darauf ausgelegt, optimale Lösungen zu finden. Es handelt sich um eine experimentelle Technik (basierend auf zufälligen Ereignissen), die verschiedene Alternativen bewertet und Entscheidungen durch den Vergleich der Ergebnisse ermöglicht.

Da Simulationsmodelle oft zur Analyse komplexer Systeme verwendet werden, greift man in der Regel auf numerische Analysemethoden zurück, da analytische Studien oft zu kompliziert sind. Die meisten Simulationsmodelle sind probabilistisch und werden kundenspezifisch angepasst.

Klassifizierung von Simulationsmodellen

Im Hinblick auf Simulationsmodelle von Interesse sind:

• Zeitbezogen:
  • Statisch: Darstellung eines Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt.
  • Dynamisch: Darstellung eines Systems über einen längeren Zeitraum.
• Variablenbezogen:
  • Deterministisch: Wenn es keine zufälligen Variablen enthält.
  • Stochastisch: Wenn es eine oder mehrere zufällige Variablen enthält.

Sie können auch diskret oder kontinuierlich sein, wobei ihre charakteristischen Merkmale für die jeweiligen Systeme definiert werden.

Simulation als Werkzeug des Operations Research

Simulation ist ein Werkzeug des Operations Research, mit dem wir das Verhalten eines tatsächlichen oder geplanten Systems kennen und analysieren können, um Handlungsweisen zu bestimmen: ändern, akzeptieren oder ablehnen.

Die Simulation ist ein Prozess, der den Aufbau eines beschreibenden Modells eines realen Systems umfasst, um das Verhalten des Systems im Laufe der Zeit zu studieren. Der Vorteil dabei ist, dass man das reale System nicht unterbrechen, zerstören (wenn man seinen maximalen Widerstand kennen will) oder bauen muss (wenn es nur ein Vorschlag ist).

Der Prozess für die erfolgreiche Entwicklung eines Simulationsmodells beginnt mit einem einfachen Modell, das evolutionär angereichert werden kann, um die Anforderungen der Problemlösung zu erfüllen. AM Law und MG McComas (zitiert in Hector Vargas. "Simulation: Mehr als nur ein Werkzeug." Vanguardia Magazine, August 1994. CETYS Faculty of Engineering) nennen folgende Elemente für ein erfolgreiches Simulationsprojekt:

• Kenntnisse über die Methodik der Simulation, probabilistische Modelle des Operations Research, Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik.
• Verständnis des zu lösenden Problems.
• Angemessene Informationen über das Funktionieren des Systems.
• Die korrekte Modellierung der Zufälligkeit im System.
• Auswahl der richtigen Software und deren korrekte Anwendung.
• Überprüfung des Modells und seiner Glaubwürdigkeit.
• Verwendung geeigneter statistischer Verfahren für die Interpretation der Simulationsergebnisse.
• Anwendung geeigneter Techniken des Projektmanagements.

Schritte im Simulationsprozess

Die folgenden Schritte dienen als Leitfaden für die Entwicklung einer Simulationsstudie. Die benötigte Zeit für jeden Schritt hängt vom zu modellierenden System ab, und einige Simulationsprojekte erfordern möglicherweise Schritte, die hier nicht enthalten sind.

1. Strategische und taktische Planung: Festlegen der experimentellen Bedingungen für die Verwendung des Modells.
2. Problemformulierung und Zieldefinition: Formulierung des Problems und Definition der Ziele.
3. Bau des mathematischen Modells: Abstraktion des Problems.
4. Erste Informationssammlung: Identifikation, Spezifikation und Datenerhebung.
5. Programmentwicklung: Vorbereitung des Modells für die Verarbeitung.
6. Verifikation: Sicherstellen des reibungslosen Funktionierens des Programms.
7. Validierung: Entsprechung zwischen Modell und Realität.
8. Experimentation: Nutzung des Modells zur Erzielung von Ergebnissen.
9. Analyse: Schlussfolgerungen und Empfehlungen zur Nutzung des Modells und Dokumentation.
10. Implementierung: Nutzung der Ergebnisse für Entscheidungen und Dokumentation des Betriebs und der Nutzung des Modells.

Anwendungen und Nutzen der Simulation

Heute gibt es eine Vielzahl von Anwendungen der Simulation aufgrund der verschiedenen Vorteile, die sie gegenüber anderen Werkzeugen bietet. Einige dieser Anwendungen umfassen:

• Kostenreduktion.
• Systementwicklung und -analyse:
  • Entwicklung von Analysemethoden.
  • Computer-Programmierung.
  • Modellierung eines Systems.
  • Experimentelles Testen (Versuch und Irrtum).
• Industrie und Personalwesen:
  • Schulung des Personals.
  • Analyse der beruflichen Mobilität.
  • Bestimmung des geeigneten Personals für eine bestimmte Aufgabe.
  • Analyse verschiedener hierarchischer Strukturen und Beziehungen innerhalb eines Unternehmens.
• Luftfahrt: Pilotenausbildung.
• Finanzwesen: Berechnung von Budgets, Analyse von Anlagealternativen, Cashflow-Analyse.
• Marketing: Entscheidungen über den Ort der Produktwerbung in verschiedenen Medien (Zeitungen, Radio, Fernsehen usw.).

Darüber hinaus wird die Simulation in biologischen, wirtschaftlichen, gesundheitlichen, geschäftlichen, Produktions-, Transport-, sozialen und städtischen Systemen eingesetzt.

Im Laufe der Zeit hat der Einsatz der Simulation als Business-Tool zugenommen. Einige der Faktoren, die diese Nutzung verstärkt haben, sind:

• Laufende Entwicklung von Sprachen und Computer-Simulatoren.
• Flexibilität durch Simulationsmodelle.

Simulation ist ein vielseitiges Werkzeug, das in verschiedenen Weisen zugrunde gelegt wurde, einschließlich:

• System-Design
• System-Administration
• Training und Ausbildung
• Kommunikation
• Public Relations

Dies ist die am weitesten verbreitete Technik im Scientific Management / Operations Research und gilt als herausragendes Werkzeug des Industrial Engineering.

Wann ist die Verwendung der Simulation angebracht?

Paul Fishwick ("Simulation Model Design and Execution: Building Digital Worlds." Prentice-Hall. America, 1995) schlägt vor, dass die Simulation empfohlen wird, wenn:

1. Das Modell, das das untersuchte System repräsentiert, sehr komplex ist und viele Variablen und interagierende Komponenten aufweist.
2. Die Beziehungen zwischen den Variablen nicht linear sind.
3. Das Modell Zufallsvariablen enthält.
4. Wir einen lebendigen Überblick über die durch das Modell erhaltenen Ergebnisse benötigen.

Einschränkungen der Simulation

Obwohl die Simulation bei Weitem das beste Mittel ist, um das Verhalten oder den Betrieb eines Systems zu untersuchen und zu beobachten, sind einige Warnungen bezüglich ihrer Verwendung zu beachten:

• Simulationsprojekte sind manchmal zeitaufwendig.
• Simulationsmodelle erfordern in der Regel viele Daten.
• Die Ergebnisse können falsch interpretiert werden.
• Einige technische und menschliche Faktoren können ignoriert werden.
• Die Validierung von Simulationsmodellen ist oft schwierig.

Zufallszahlengenerierung und Monte-Carlo-Simulation

Simulationsmodelle werden häufig verwendet, um Entscheidungen unter Unsicherheit zu analysieren, d. h. ein Problem, bei dem das Verhalten eines oder mehrerer Faktoren durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung dargestellt werden kann. Diese Art der Simulation wird manchmal auch als Monte-Carlo-Methode bezeichnet.

Die Monte-Carlo-Methode

Die Monte-Carlo-Methode wurde historisch als eine Technik zur Lösung von Modellen mit zufälligen oder pseudo-zufälligen Zahlen angesehen. Zufallszahlen sind grundsätzlich unabhängige Zufallsvariablen, die gleichmäßig in einem Bereich zwischen 0 und 1 verteilt sind. Was wir tatsächlich mit einem elektronischen Rechner erreichen können, ist die Erzeugung einer Folge von Pseudo-Zufallszahlen (scheinbar zufällig, wobei jede Ziffer von 0 bis 9 mit fast gleicher Wahrscheinlichkeit auftritt).

Der Begriff „Monte Carlo“ wurde von von Neumann und Ulam während des Zweiten Weltkriegs als Code für eine geheime Mission in Los Alamos eingeführt. Monte Carlo ist eine Stadt in Monaco, berühmt für ihre Spielhallen, daher der Name. Zu dieser Zeit wurde die Methode auf Probleme im Zusammenhang mit der Atombombe angewandt, deren experimentelle Tests gerade in Los Alamos, New Mexico, durchgeführt wurden.

Die Monte-Carlo-Methode wird nicht nur für stochastische, sondern auch für deterministische Probleme verwendet. Diese Methode ist derzeit eine der leistungsfähigsten und am häufigsten verwendeten Techniken zur Analyse komplexer Probleme.

Unterschiede zwischen Monte-Carlo und stochastischer Simulation

• Bei der Monte-Carlo-Methode ist die Zeit nicht so kritisch wie bei der stochastischen Simulation.
• Bei der Monte-Carlo-Methode sind die Beobachtungen unabhängig. Im Gegensatz dazu sind Beobachtungen bei der stochastischen Simulation seriell korreliert, da sie zeitabhängig sind.
• Bei der Monte-Carlo-Methode können die Ergebnisse nur in Form von stochastischen Input-Variationen ausgedrückt werden. Im Gegensatz dazu ist die Antwort der stochastischen Simulation in der Regel sehr kompliziert und kann nur durch das Programm ausgedrückt werden.

Generierung von Pseudo-Zufallszahlen

Zur Erzeugung von Zufallszahlen begann man zunächst mit manuellen Methoden wie dem Werfen einer Münze oder einem Roulette-Rad. Diese physikalischen Methoden waren für den allgemeinen Gebrauch umständlich, zudem konnten die daraus gewonnenen Folgen nicht reproduziert werden. Mit dem Aufkommen von Computern wurde es einfacher, Zufallszahlen zu erhalten.

John von Neumann schlug die Mittlere-Quadrat-Methode (Mid-Square) vor, die die Arithmetik eines Computers nutzt. Seine Idee war es, die vorherige Zufallszahl zu quadrieren und die mittleren Ziffern zu verwenden. Wenn wir zum Beispiel die Zahl 3456 haben, quadrieren wir sie zu 11943936. Unsere neue Zahl ist dann 9439, und so weiter. Diese Zahlen sind nicht wirklich zufällig, sie erscheinen uns nur so und werden Pseudo- oder Quasi-Zufallszahlen genannt. Man muss hoffen, dass man nicht auf Nullen trifft, da man dann in Schwierigkeiten geraten würde.

Die Effizienz eines Verfahrens zur Erzeugung von Zufallszahlen kann danach gemessen werden, ob die Zahlen gleichmäßig verteilt, statistisch unabhängig und reproduzierbar sind. Darüber hinaus gilt eine Methode als gut, wenn der Generator schnell ist und wenig Speicherplatz benötigt. Das folgende Beispiel zeigt die Anwendung der Monte-Carlo-Methode.