Tabelle der Ableitungen und Integrale – Formelsammlung
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Tabelle der Derivate
| TABELLE DER DERIVATE | ||||
| Funktion | Abgeleitete Funktion | Funktion | Abgeleitete Funktion | |
| Y = k | Y' = 0 | Y = x | Y' = 1 | |
| Y = u + v + w | Y' = u' + v' + w' | Y = u · v | Y' = u' · v + u · v' | |
| Y = u / v | Y' = (v · u' - v' · u) / v2 | Y = logb u | Y' = u' / (u · ln b) | |
| Y = un | Y' = n · u' · un-1 (n konstant) | Y = ln u | Y' = u' / u | |
| Y = ku (k>0,k≠1) | Y' = ku · ln k · u' | Y = eu | Y' = eu · u' | |
| Y = sin u | Y' = cos u · u' | Y = csc u | Y' = -csc u · cot u · u' | |
| Y = cos u | Y' = -sin u · u' | Y = sec u | Y' = sec u · tan u · u' | |
| Y = tan u | Y' = sec2 u · u' | Y = cot u | Y' = -csc2 u · u' | |
| Y = arcsin u | Y' = u' / sqrt(1 - u2) | Y = arccos u | Y' = -u' / sqrt(1 - u2) | |
| Y = arctan u | Y' = u' / (1 + u2) | Y = arccot u | Y' = -u' / (1 + u2) | |
| Y = arcsec u | Y' = u' / (|u| · sqrt(u2 - 1)) | Y = arccsc u | Y' = -u' / (|u| · sqrt(u2 - 1)) | |
| Y = uv (allgemein) | Y' = uv · (v' · ln u + v · u'/u) | |||
Logarithmische Differentiation: Ist Y = f(x) und Y>0, dann gilt (ln Y)' = Y'/Y ⇒ Y' = Y · (ln Y)'. | ||||
(*) Für die Ableitung logk u gilt: d/dx[logk u] = u' / (u · ln k). (**) sec2 u = 1 / cos2 u. | ||||
Hinweis: u, v, w sind Funktionen von x; u' ist die Ableitung von u nach x; k ist eine Konstante; ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e; n, b sind Zahlen; |u| ist der Betrag von u. | ||||
Tabelle der Integrale (Stammfunktionen)
| Funktion | Stammfunktion / Integral | Funktion | Stammfunktion / Integral |
| ∫ k · du | k · u + C | ∫ k·u(x) dx | k · ∫ u(x) dx |
| ∫ (u ± v ± w) du | ∫u du ± ∫v du ± ∫w du | ∫ un du | un+1 / (n+1) + C (n ≠ -1) |
| ∫ u · dv | u·v - ∫ v·du (Partielle Integration) | ∫ f(kx) dx | (1/k) ∫ f(u) du, mit u = kx |
| ∫ du / u | ln |u| + C | ∫ eu du | eu + C |
| ∫ ku du | ku / ln k + C (k>0, k≠1) | ∫ um du (besondere Werte) | z. B. ∫ u1/2 du = (2/3) u3/2 + C |
| ∫ sin u du | -cos u + C | ∫ cos u du | sin u + C |
| ∫ tan u du | -ln |cos u| + C = ln |sec u| + C | ∫ cot u du | ln |sin u| + C |
| ∫ sec2 u du | tan u + C | ∫ csc2 u du | -cot u + C |
| ∫ sec u · tan u du | sec u + C | ∫ csc u · cot u du | -csc u + C |
| ∫ sec u du | ln |sec u + tan u| + C | ∫ csc u du | ln |tan(u/2)| + C (oder ln |csc u - cot u| + C) |
| ∫ sin2 u du | (1/2) u - (1/4) sin(2u) + C | ∫ cos2 u du | (1/2) u + (1/4) sin(2u) + C |
| ∫ tan2 u du | -u + tan u + C | ∫ sec2 u du | tan u + C |
| ∫ (sin u)/(cos2 u) du | sec u + C | ∫ (cos u)/(sin2 u) du | -csc u + C |
| ∫ du / sqrt(1 - u2) | arcsin u + C | ∫ du / (1 + u2) | arctan u + C |
| ∫ du / (u2 + k2) | (1/k) arctan(u/k) + C | ∫ du / (u2 - k2) | (1/(2k)) ln |(u - k)/(u + k)| + C |
| ∫ du / (k2 - u2) | (1/(2k)) ln |(k + u)/(k - u)| + C | ∫ du / (u2 + k2) | (1/k) arctan(u/k) + C |
| (***) In allen Integralen ist stets eine Integrationskonstante + C zu ergänzen. U, V, W, u, v, w sind Funktionen von x; k ∈ R; weitere spezielle Fälle können durch Substitution oder Partialbruchzerlegung behandelt werden. | |||