Trägheitsmoment & Oszillatoren: Sätze der Klassischen Mechanik

Starrer Körper (Rigid Body)

Ein starrer Körper ist ein Spezialfall eines Vielteilchensystems. Es wird angenommen, dass der Abstand zwischen den Teilchen konstant bleibt (R = konstant) oder dass die Körper absolut nicht verformbar sind.

Satz von Steiner (Parallelverschiebungssatz)

Der Satz von Steiner ermöglicht es, das Trägheitsmoment (I) eines starren Körpers um eine Rotationsachse durch einen Punkt O zu berechnen, wenn das Trägheitsmoment um eine dazu parallele Achse bekannt ist, die durch den Massenschwerpunkt (CM) verläuft.

Die Beziehung lautet:

$$I_O = I_{CM} + m d^2$$

Wobei:

• I₀ das Trägheitsmoment des Körpers um die Achse durch O ist.
• I_CM das Trägheitsmoment um die Achse durch den Massenschwerpunkt ist.
• m die Gesamtmasse des Körpers ist.
• d der Abstand zwischen diesen beiden parallelen Achsen ist.

Ableitung des Satzes

Das Trägheitsmoment um die Achse durch O ist $I_O = \sum m r^2$. Das Trägheitsmoment um die Achse durch C ist $I_C = \sum m R^2$.

Unter Verwendung der Beziehung $r^2 = R^2 + d^2 + 2 d x_C$ ergibt sich:

$I_O = \sum m R^2 + d^2 \sum m + 2 d \sum m x_C$

Da die Summe der Momente um den Massenschwerpunkt Null ist ($\sum m x_C = 0$), vereinfacht sich die Gleichung zu:

$$I_O = I_{CM} + M d^2$$

Methoden zur Bestimmung des Trägheitsmoments

Das Trägheitsmoment eines Körpers kann durch folgende Prinzipien bestimmt werden:

1. Die Symmetrie des Körpers kann die Berechnung vereinfachen oder auf einen Teil reduzieren.
2. Da das Trägheitsmoment additiv ist, kann das Trägheitsmoment eines Verbundkörpers als die Summe der Trägheitsmomente seiner Einzelteile berechnet werden.
3. Oftmals wird das Trägheitsmoment um eine Achse mithilfe des Satzes von Steiner aus dem Moment um eine andere Achse abgeleitet.

Satz der senkrechten Achsen

Das Trägheitsmoment einer dünnen Platte um eine Achse ($I_z$), die senkrecht zur Platte steht, ist gleich der Summe der Trägheitsmomente der beiden Achsen ($I_x$ und $I_y$), die in der Ebene der Platte liegen und sich senkrecht schneiden.

Die Beziehung lautet:

$$I_z = I_x + I_y$$

Wichtig: Der Satz der senkrechten Achsen bezieht sich nur auf ebene Figuren (dünne Platten).

Schwingungen und Oszillatoren

Erregter (Getriebener) Oszillator

Ein erregter Oszillator wird durch eine externe Kraft angetrieben, oft in Form einer Sinusfunktion $\sin(\omega t)$.

(Die folgenden Parameter sind unvollständig oder fehlerhaft dargestellt, werden aber beibehalten und formatiert):

• Parameter: $\gamma = F_0 m / (\omega R)$
• Resonanzbedingung: $\sqrt{\omega^2 - 2\gamma}$ (Interpretation unsicher)

Gedämpfter Oszillator

Die Bewegungsgleichung eines gedämpften Oszillators (basierend auf der Originalquelle) lautet:

$$\frac{d^2 x}{d t^2} + 2 \gamma \frac{d x}{d t} + x = 0$$

Zugehörige Parameter:

• Dämpfungskonstante: $\gamma = \sqrt{k/m} / (2 \cdot \text{Dämpfungsfaktor})$ (Interpretation unsicher)
• Gütefaktor (Q-Faktor): $Q = \omega / (2 \gamma)$