Die Van Hiele Niveaus des Geometrischen Denkens

Level 1: Anerkennung (Visualisierung)

Merkmale von Level 1:

• Schüler erkennen geometrische Figuren global als Ganzes, wobei irrelevante Attribute in der Beschreibung enthalten sein können.
• Figuren werden als einzelne Objekte wahrgenommen. Die Schüler sind nicht in der Lage, die Funktionen zu verallgemeinern, die eine Figur definieren, um andere Figuren in derselben Klasse zu erkennen.
• Die Beschreibung beschränkt sich auf das Aussehen der Figuren. Klassifizierungen basieren auf großen körperlichen Ähnlichkeiten oder Unterschieden zwischen den Figuren.
• Schüler erkennen oft nicht die Bestandteile der Figuren und deren mathematische Eigenschaften.
• Die Beschreibungen basieren auf Ähnlichkeiten mit anderen (nicht notwendigerweise geometrischen) Objekten, die sie kennen. Sie verwenden oft Sätze wie „... ist wie ein...“ oder „... hat die Form...“.

Level 2: Analyse

Merkmale von Level 2:

• Schüler erkennen, dass geometrische Figuren aus Teilen oder Elementen bestehen, die mit mathematischen Eigenschaften ausgestattet sind.
• Sie können die Teile einer Figur beschreiben und deren Eigenschaften informell artikulieren.
• Sie erkennen mathematische Eigenschaften, indem sie sich auf die Figuren und ihre Elemente beziehen. Die Schüler können durch Experimentieren andere Eigenschaften ableiten und verallgemeinern.
• Sie können jedoch die Beziehungen zwischen den Eigenschaften nicht erkennen und daher keine logischen Klassifizierungen basierend auf diesen Merkmalen vornehmen.

Level 3: Klassifizierung (Informelle Deduktion)

Merkmale von Level 3:

Auf dieser Ebene beginnt die formale mathematische Begründungsfähigkeit der Schüler:

• Sie sind in der Lage zu erkennen, dass Eigenschaften von anderen abgeleitet sind. Sie können logisch verschiedene Familien von Figuren, deren Eigenschaften und bereits bekannte Beziehungen klassifizieren.
• Ihr logisches Denken benötigt jedoch noch Unterstützung durch konkrete Handhabung.
• Die Schüler können eine Figur formal beschreiben, d. h. mathematisch korrekte Definitionen geben und die Rolle sowie die Anforderungen an eine korrekte Definition verstehen.
• Obwohl die Schüler die einzelnen Schritte einer späteren formalen logischen Argumentation verstehen, sehen sie diese isoliert. Sie verstehen nicht die Notwendigkeit, diese Schritte zu verbinden, oder die Struktur eines Beweises.
• Da sie nicht in der Lage sind, formal-logische Argumentationen selbstständig zu führen, verstehen die Schüler den axiomatischen Aufbau der Mathematik nicht.

Level 4: Formaler Abzug (Deduktion)

Merkmale von Level 4:

Beim Erreichen dieser Stufe können die Schüler formal-logisches Denken verstehen und durchführen:

• Mehrstufige Beweisführungen (Demonstrationen) sind für sie sinnvoll, und sie erkennen deren Notwendigkeit als Mittel zur Überprüfung der Wahrheit einer Aussage.
• Sie verstehen die axiomatische Struktur der Mathematik, d. h. die Nützlichkeit definierter Begriffe, Axiome und Sätze.
• Die Schüler erkennen die Möglichkeit, dass dasselbe Ergebnis aus verschiedenen Annahmen erreicht werden kann, sowie die Existenz äquivalenter Definitionen für dasselbe Konzept.